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trigonométriques
Hugues de Lassus Saint-Geniès, David Defour, Guillaume Revy
To cite this version:
Réduction d’argument basée sur les triplets pythagoriciens
pour l’évaluation de fonctions trigonométriques
Hugues de Lassus Saint-Geniès, David Defour et Guillaume Revy
Université de Perpignan Via Domitia, DALI, F-66860, Perpignan, France Université Montpellier II, LIRMM, UMR 5506, F-34095, Montpellier, France CNRS, LIRMM, UMR 5506, F-34095, Montpellier, France
hugues.de-lassus@univ-perp.fr, david.defour@univ-perp.fr, guillaume.revy@univ-perp.fr
Résumé
L’évaluation logicielle de fonctions élémentaires se décompose généralement en trois grandes étapes : une réduction d’argument, une évaluation polynomiale et une reconstruction. Afin de garantir la précision du résultat final, ces évaluations s’accompagnent d’une étude rigoureuse des erreurs de méthode et d’arrondi. Une des grandes problématiques consiste à minimiser le nombre de sources d’erreur et/ou leur impact sur le résultat final. Le travail présenté dans cet article s’inscrit dans cet objectif en éliminant une des sources d’erreur dans le schéma d’évalua-tion de foncd’évalua-tions trigonométriques. Pour cela, nous montrons comment construire des données tabulées sans erreur utilisées lors de la réduction d’argument pour l’évaluation du sinus et du cosinus. La méthode proposée repose sur les générateurs de triplets pythagoriciens. Elle per-met de diminuer la taille des tables tout en rendant les données tabulées plus précises.
Mots-clés : réduction d’argument, triplet pythagoricien, fonctions trigonométriques.
1. Introduction
Les formats et l’arithmétique des nombres flottants sont définis par la norme IEEE 754-2008 [10]. Pour les cinq opérations arithmétiques de base (+, −, ×, /, et√), ce standard requiert l’arrondi correct du résultat selon l’un des quatre modes d’arrondi (au plus près, vers −∞, vers +∞, vers 0). Cependant, pour les fonctions élémentaires (e.g. sin, log, exp), l’arrondi correct est seulement recommandé. Cela est dû au Dilemme du Fabricant de Tables [13, Ch. 12] et à la diffi-culté de développer des schémas d’évaluation efficaces pour ces fonctions.
Il existe différentes façons d’évaluer une fonction élémentaire comme sinus ou cosinus [5, 6, 7, 13, 18]. Le choix d’une méthode est guidé par la précision cible, la possibilité d’utiliser du maté-riel dédié, et le budget ressource associé. Dans cet article, nous nous intéressons aux méthodes d’évaluation logicielle de fonctions trigonométriques à base de valeurs tabulées et d’approxi-mations polynomiales. L’évaluation de ces fonctions suit généralement deux phases, comme dans le projet CR-Libm.1Une première phase rapide utilise des opérations d’une précision si-milaire à celle des opérandes pour garantir quelques bits supplémentaires par rapport à la précision visée. Si l’arrondi correct ne peut pas être déterminé après cette première phase, une phase lente basée sur une précision étendue est utilisée.
Dans la suite de cet article nous considérons l’évaluation de la fonction sin(x), avec x un nombre flottant défini dans [10]. L’évaluation logicielle de cette fonction se décompose en quatre étapes :
1. Une première réduction d’argument basée sur l’identité :
sin(x) = fk(x − k· π/2) , avec k∈ Z et fk=± sin ou fk=± cos
selon la valeur de k mod 4, qui permet de réduire l’intervalle à (−π/4, π/4], puis, en uti-lisant la parité des fonctions trigonométriques, à x∗∈ [0, π/4]. Notons que, π/2 étant irra-tionnel, l’argument réduit x∗ l’est également. La précision de l’argument réduit x∗ condi-tionnant la précision du résultat final, il est alors indispensable de réaliser cette étape en utilisant un algorithme adapté [2, 3, 4, 14]. L’argument réduit pourra donc éventuelle-ment être représenté par plusieurs nombres flottants dont la somme fournit une bonne approximation de x∗. On trouve ici une première source d’erreur du processus d’évaluation. 2. Cet intervalle est encore trop grand pour approcher fk(x∗) par une évaluation
polyno-miale précise et de degré raisonnable. Une deuxième réduction d’argument, basée cette fois sur des données tabulées, est nécessaire. Cette solution a été proposée par Tang [17]. Elle consiste à diviser l’argument réduit x∗en deux parties x∗het x∗l, définies par :
x∗h=bx∗× 2pc · 2−p et x∗ l = x
∗− x∗
h. (1)
La partie haute x∗h est constituée des p bits de poids forts de x∗, dont on se sert pour adresser une table de dπ/4×2pe entrées contenant des valeurs précalculées sin
h≈ sin(x∗h)
et cosh ≈ cos(x∗h) et arrondies dans le format de destination (simple, double,
double-double). Selon qu’il faut évaluer ± sin(x∗)ou ± cos(x∗), on utilise l’une des deux formules suivantes :
sin(x∗) =sin(x∗h+ x∗l) = sinh· cos(x∗l) + cosh· sin(x∗l)
cos(x∗) =cos(x∗h+ x∗l) = cosh· cos(x∗l) − sinh· sin(x∗l). (2)
Cette étape introduit une deuxième source d’erreur sur les termes sinhet cosh.
3. Il reste a réaliser les approximations polynomiales de sin(x∗l)et cos(x∗l)pour x∗l ∈ [0, 2−p].
Ceci introduit une troisième source d’erreur.
4. Enfin, le résultat final est obtenu par une reconstruction qui fusionne les termes obtenus dans les étapes 2 et 3 selon une des Équations (2). Inévitablement, cette étape rajoute une source d’erreur par l’emploi des opérations élémentaires + et ×.
Il existe déjà des solutions satisfaisantes pour la première réduction d’argument, la génération et l’évaluation de polynômes d’approximation précis et efficaces, et la reconstruction [12]. La deuxième réduction d’argument a fait l’objet de propositions où l’objectif était d’équilibrer la première source d’erreur présente dans l’argument réduit et la deuxième source d’erreur pré-sente dans les données tabulées. La méthode de Gal réduit les erreurs d’arrondis des valeurs tabulées, en autorisant un terme correctif corr dans les x∗h [8, 9]. Pour chaque valeur de x∗h, la variation corr est choisie de sorte que cos(x∗h + corr)et sin(x∗h+ corr) soient très proches de nombres représentables en machine. Les données tabulées sont ainsi plus précises, ce qui sim-plifie les calculs intermédiaires. En revanche, il est nécessaire de stocker les termes correctifs. La recherche des valeurs corr a été améliorée par Stehlé et Zimmermann [16].
accès à des valeurs rationnelles proches de cos(x∗h)et sin(x∗h). Cela simplifie l’étape de recons-truction ainsi que la consrecons-truction des preuves, et réduit l’espace mémoire nécessaire pour les tables. Pour arriver à ces améliorations, nous nous appuyons sur les triplets pythagoriciens, car ils permettent d’obtenir des valeurs rationnelles de sinus et cosinus.
Le reste de cet article est organisé comme suit : La Section 2 détaille notre approche et comment nous parvenons à représenter certains termes sans erreur. Puis, la Section 3 illustre l’intérêt de cette approche à travers un ensemble de résultats expérimentaux, et montre que nous pouvons calculer des tables jusqu’à 10 bits d’indice avec des coûts limités en temps et en mémoire. Enfin, la Section 4 montre que notre méthode permet des gains en mémoire et en latence par rapport aux méthodes existantes.
2. Tabulation de termes exacts
Dans cette section, nous présentons une méthode proche de celle de Gal, basée sur un terme correctif de x∗h. Notre objectif est toutefois de pouvoir sélectionner des points pour lesquels il est possible de tabuler des valeurs exactes. Nous lions leur recherche aux triplets pythagoriciens. La suite de la section présente le principe de notre approche, ainsi que les triplets pythagoriciens et la méthode proposée pour sélectionner les triplets pertinents pour la construction des tables.
2.1. Principe de la méthode
Notre approche consiste à construire des tables dont certaines valeurs sont stockées exacte-ment. Plus particulièrement, rappelons qu’une table contient dπ/4×2pe entrées, et pour chaque entrée, les valeurs sinh et cosh doivent pouvoir être stockées sans erreur. Pour ce faire :
1. Les valeurs de sinh et cosh doivent être des nombres rationnels, c’est-à-dire :
sinh= sn/sd et cosh= cn/cd avec sn, sd, cn, cd ∈ N et sd, cd6= 0.
2. Pour faciliter la reconstruction, les dénominateurs doivent être identiques : sd = cd.
3. Pour éviter une division par sd durant la reconstruction, le dénominateur sd doit être
identique à une valeur k pour chaque entrée, de telle sorte qu’il puisse être directement intégré dans les coefficients des polynômes. Cette valeur k peut alors être vue comme le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs de toutes les entrées.
4. Pour réduire la taille des tables, snet cndoivent être représentables en machine.
Après avoir trouvé des nombres qui vérifient ces quatre propriétés, la reconstruction devient :
sin(x∗) = sn· C(x∗l − corr) + cn· S(x∗l − corr),
avec :
— C(x) et S(x) deux polynômes d’approximation définis pour x ∈ [0, 2−p]par : C(x) =cos(x)/k et S(x) =sin(x)/k,
— et les valeurs tabulées sn, cnet corr définies par :
x∗h =arcsin(sn/k) − corr =arccos(cn/k) − corr.
Les valeurs sinhet cosh sont alors deux valeurs rationnelles. Mais seuls les deux numérateurs
0 1000 2000 3000 4000 0 1000 2000 3000 4000 a b α = π/4
FIGURE1 – Triplets pythagoriciens primitifs avec c < 212.
2.2. Triplets pythagoriciens
Un triplet pythagoricien est un triplet d’entiers (a, b, c), où a, b et c vérifient :
a2+ b2= c2, avec a, b, c∈ N∗.
D’après le théorème de Pythagore, un triplet pythagoricien renvoie aux longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Les valeurs de sinhet coshpeuvent alors être définies comme les
quo-tients de ces longueurs. On en déduit qu’à tout triplet pythagoricien (a, b, c), on peut associer un angle θ ∈ [0, π/2] tel que sin(θ) = a/c et sin(θ) = b/c.
Un triplet pythagoricien pour lequel les fractions a/c et b/c sont irréductibles est appelé triplet pythagoricien primitif. Un triplet primitif et ses multiples renvoient à des triangles semblables, et représentent donc le même angle θ. Par conséquent, nous ne nous intéresserons ici qu’aux triplets pythagoriciens primitifs. Un exemple de triplet primitif est le triplet (3, 4, 5) qui renvoie à l’angle θ = arcsin(3/5) ≈ 0.6435 rad, c’est-à-dire, environ 58◦.
2.3. Construction et sélection de l’ensemble des triplets pythagoriciens
Construction.Il existe une infinité de triplets pythagoriciens primitifs, qui couvrent un large intervalle d’angles. Ceci est illustré sur la Figure 1, qui montre tous les triplets pythagoriciens primitifs dont l’hypoténuse est strictement inférieure à 212. L’ensemble des triplets primitifs
possède une structure d’arbre ternaire [1, 15]. Ainsi, l’arbre de Barning-Hall [1] se construit à partir d’un triplet (a, b, c) dont on déduit trois fils en le multipliant par les matrices suivantes :
1 −2 2 2 −1 2 2 −2 3 , −1 2 2 2 −1 2 −2 2 3 et 1 2 2 2 1 2 2 2 3 .
Sélection.Parmi les triplets pythagoriciens primitifs, il faut en sélectionner un par entrée de la table, de telle sorte que chaque triplet (a, b, c) minimise le terme correctif corr défini par :
corr = θ − x∗h, avec θ =arcsin(a/c) et x∗h = i· 2−p,
où i représente l’indice de l’entrée dans la table (i ≥ 0). Comme on l’a vu en Section 2.1, au lieu de stocker a, b, c et corr, notre approche consiste à stocker A et B de la forme
A = (a/c)· k et B = (b/c)· k, avec k∈ N∗
et k unique pour toute la table, et tels que A et B soient exactement représentables.
3. Implantation et résultats numériques
Dans cette section, nous présentons les deux méthodes que nous avons utilisées pour générer des tables de valeurs ayant les propriétés décrites en Section 2. Du fait de l’explosion combi-natoire lors de la génération des triplets, l’approche exhaustive permet d’atteindre en un temps raisonnable des tables indexées par au plus 7 bits. Pour des tailles supérieures, il est nécessaire d’utiliser des méthodes heuristiques.
3.1. Recherche exhaustive 3.1.1. Algorithme
Comme nous l’avons vu en Section 2.1, l’objectif est de trouver un petit PPCM k parmi les hypoténuses des triplets générés. Soit p le nombre de bits utilisés pour adresser la table et n le nombre de bits utilisés pour représenter les hypoténuses des triplets stockés. L’algorithme de recherche se divise en trois étapes, où n est initialisé à 4 :
1. On génère tous les triplets (a, b, c), avec c < 2n,
2. On recherche un petit PPCM k, commun à toutes les entrées de la table,
3. Si k est trouvé, on construit la table de valeurs (A, B, corr). Sinon, on recommence l’algo-rithme avec n = n + 1.
Nous avons implanté cet algorithme en C++ et nous avons inclus diverses optimisations pour accélérer les calculs et réduire la consommation mémoire. Par exemple, nous pouvons remar-quer que le triplet dégénéré (0, 1, 1) permet de représenter l’angle θ = 0◦avec un terme correctif nul. Nous pouvons le choisir pour l’entrée d’indice 0 dans la table, ce qui nous permet de ne pas avoir à considérer cette entrée et ses triplets associés lors de la phase de génération.
3.1.2. Résultats numériques
La Table 1 présente les résultats obtenus sur une machine Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2650 v2 @ 2.60 GHz (32 cœurs) et 125 Go de RAM, et sous environnement GNU/Linux. Ces résultats donnent les valeurs n et kmin trouvées, les temps d’exécution, ainsi que le nombre de triplets
et d’hypoténuses différents stockés.
La Table 1 montre que l’on peut construire des tables indexées par p = 6 bits en 6 secondes. Pour p = 7bits d’entrée, on passe alors à 17 minutes. Notons que dans cette dernière configuration, il est nécessaire de manipuler en mémoire plus de cinq millions de triplets et deux millions d’hypoténuses. La solution exhaustive n’est donc pas envisageable pour des valeurs de p ≥ 8.
3.2. Recherche heuristique
TABLE1 – Résultats obtenus avec l’approche exhaustive pour p ∈{3, · · · , 7}.
p n kmin temps (s) triplets hypoténuses
3 10 725 1 181 125
4 14 10 625 0, 01 2689 1712 5 17 130 645 0, 14 21 588 12 463 6 21 1 676 285 6 338 660 179 632 7 25 32 846 125 1000 5 365 290 2 635 323
TABLE2 – Résultats obtenus avec l’heuristique proposée pour p ∈{6, · · · , 10}. p kmin n temps (s) triplets hypoténuses
6 1 676 285 21 0.12 1566 43 7 32 846 125 25 0.88 3308 48 8 243 061 325 28 4.63 5217 49 9 12 882 250 225 34 269 10 174 55 10 370 668 520 625 39 8563 14 888 56
pour des p plus petits (p ≤ 7). On remarque que les PPCM obtenus sont toujours le produit de petits facteurs premiers, et plus particulièrement de petits nombres premiers pythagoriciens, c’est-à-dire les nombres premiers de la forme 4n + 1. Pour p ≤ 7, ces facteurs appartiennent à l’ensemble P des premiers pythagoriciens inférieurs ou égaux à 61 :
P =5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 .
Nous avons alors développé une heuristique qui ne stocke que les triplets pythagoriciens pri-mitifs dont l’hypoténuse est de la forme
c =Y i pri i , avec pi∈ P, et ri∈{0, 1} si pi 6= 5 ri∈ N∗ sinon . (3)
Les résultats obtenus par cette heuristique sont consignés dans la Table 2. La dernière colonne correspond au nombre d’hypoténuses sélectionnées. On observe que non seulement cette heu-ristique a une consommation mémoire nettement inférieure à notre algorithme exhaustif, mais elle retrouve aussi les résultats obtenus par cet algorithme au moins jusqu’à p = 7, en des temps largement inférieurs. En effet, pour p = 7 par exemple, elle permet de ne stocker que 48 hypoténuses différentes et de générer la table en moins d’une seconde, contre plus de deux millions d’hypoténuses et 17 minutes pour la recherche exhaustive.
Le facteur limitant de notre algorithme n’est donc plus la recherche du PPCM, qui consiste à vérifier seulement quelques dizaines d’hypoténuses, mais la génération des triplets. En effet, la décision de stocker ou non un triplet (a, b, c) est coûteuse : il faut vérifier si c est de la forme (3).
4. Comparaisons avec les méthodes existantes
Nous avons présenté une réduction d’argument basée sur des points exacts ainsi qu’une mé-thode efficace pour générer ces points. Nous comparons cette solution à la solution originale de Tang [17] et à l’optimisation de Gal [8]. On considère un schéma d’évaluation de la fonc-tion sinus en deux étapes qui cible l’arrondi correct en double précision. La phase rapide et la phase précise ont pour objectifs respectifs des précisions relatives d’au moins 2−66et 2−150. On
choisit p = 10 pour notre table, ce qui correspond à dπ/4 × 210e = 805 entrées.
TABLE3 – Coûts des additions et des multiplications en précision étendue. Addition Nb. de FLOP E2= E2+ E2 12 E3= E3+ E3 27 Multiplication Nb. de FLOP E2= E1× E2 20 E3= E1× E3 47 Multiplication Nb. de FLOP E2= E1× E1 17 E2= E2× E2 26 E3= E3× E3 107
pendant l’étape de reconstruction. Aussi, on considère que des algorithmes d’expansion sont utilisés quand une grande précision est requise, comme par exemple dans la bibliothèque CR-Libm. La Table 3, extraite de [11], sera utilisée comme référence pour calculer le coût de ces algorithmes quand aucun FMA n’est disponible. La notation En désigne une expansion de
taille n. Avec ce formalisme, E1représente un nombre flottant habituel.
4.1. Méthode de Tang
Pour atteindre une précision de 66 bits, la solution de Tang doit accéder à des valeurs de sinh
et cosh stockées en expansions de taille 2. Ces valeurs sont ensuite multipliées par les deux
résultats des évaluations polynomiales, considérés comme des expansions de taille 2 égale-ment. La phase rapide a donc le coût total suivant : 4 accès mémoire double précision, ainsi que 2 multiplications E2× E2et 1 addition E2+ E2, ce qui représente 64 opérations flottantes.
Dans le cas où la phase précise est lancée, cette dernière a besoin d’accéder à 2 valeurs tabulées supplémentaires afin de représenter sinh et cosh en expansions de taille 3. La reconstruction
consiste alors en 2 multiplications E3 × E3 et 1 addition E3+ E3. Cela représente un total de
6accès mémoire, 241 opérations flottantes, et une table occupant 38 640 octets.
4.2. Méthode de Gal
La technique utilisée par Gal permet d’atteindre 63 bits de précision, et l’amélioration de Stehlé et Zimmermann atteint les 74 bits. Dans ce cas, en considérant l’approche de Stehlé et Zim-mermann, un seul nombre flottant double précision est nécessaire pour les termes sinh, coshet
corr. La reconstruction consiste à multiplier les deux premiers termes avec les deux résultats des évaluations polynomiales, stockés en expansions de taille 2. Ainsi, la phase rapide requiert 2+1accès mémoire double précision, 1 addition pour le terme correctif, 2 multiplications E1×E2
et 1 addition E2+ E2. Le coût total est donc ici de 3 accès mémoire et 53 opérations flottantes.
Les 150 bits de précision requis par la phase précise nécessitent 2 nombres flottants supplémen-taires pour chacune des valeurs tabulées. Le terme correctif est alors intégré au résultat final en utilisant une addition E3+ E3. Le reste des opérations s’effectue lui aussi en expansions de
taille 3. Le coût total pour la phase précise est donc de 6 accès mémoires double précision sup-plémentaires, 2 multiplications E3× E3et 2 additions E3+ E3, ce qui représente 9 accès mémoire
et 268 opérations flottantes pour une table de 57 960 octets.
4.3. Méthode des points exacts
Comme on peut le remarquer dans la Table 2, la solution proposée dans cet article requiert au plus 39 bits pour stocker les nombres A et B, c’est-à-dire qu’un seul nombre flottant double pré-cision par terme est nécessaire. Le coût de la phase rapide est donc le même que celui de Gal à la Section 4.2. Cependant, pour la phase précise, les valeurs tabulées A et B sont exactes. Donc seul le terme correctif corr est stocké en expansion de taille 3 et requiert 2 accès mémoire sup-plémentaires pour atteindre les 150 bits de précision. Le terme correctif est intégré au résultat final par une addition E3+ E3. Les multiplications correspondent à E3 = E1× E3 car les
TABLE4 – Comparaison du nombre d’accès mémoire (MA), d’opérations flottantes (FLOP), et de la taille des tables pour trois méthodes à base de valeurs tabulées et pour p = 10.
Méthode Phase rapide Phase précise Taille de la table (octets) Tang 4 MA + 64 FLOP 6 MA + 241 FLOP 38640
Gal 3 MA + 53 FLOP 9 MA + 268 FLOP 57960
Proposée 3 MA + 53 FLOP 5 MA + 148 FLOP 32200
4.4. Comparaison des résultats
Ces estimations de coûts sont résumées dans la Table 4, qui contient le nombre d’opérations flottantes et d’accès mémoire pour la phase rapide et la phase précise ainsi que la taille de chaque table calculée. On remarque tout d’abord que la réduction d’argument proposée re-quiert moins de mémoire par entrée dans la table que les autres solutions. Il faut en effet 48 oc-tets par entrée pour la méthode de Tang et 72 ococ-tets par entrée pour celle de Gal contre seule-ment 40 octets par entrée pour la table de points exacts. Cela représente un gain en mémoire d’environ 17% et 44% par rapport à Tang et Gal, respectivement.
Concernant le nombre d’opérations flottantes, notre solution a une performance similaire à celle de Gal pour la phase rapide. Pour la phase précise, on observe un gain d’environ 39% et 45% par rapport à Tang et Gal, respectivement.
Enfin, on remarque que notre solution réduit le nombre d’accès mémoire par rapport à toutes les méthodes étudiées. La phase rapide effectue 3 accès mémoire, tandis que l’approche de Tang en fait 4, ce qui représente une amélioration de 25%. Pour la phase précise, on passe de 6 accès pour Tang et 9 pour Gal à 5 accès pour notre méthode, c’est-à-dire, une amélioration d’environ 17% et 44%, respectivement.
5. Conclusions et perspectives
Dans cet article, nous présentons une nouvelle approche pour implanter la réduction d’argu-ment pour l’évaluation de fonctions trigonométriques basée sur des valeurs tabulées. Notre méthode s’appuie sur les triplets pythagoriciens, ce qui permet de simplifier et d’accélérer l’évaluation de ces fonctions. Nous nous sommes concentrés sur le sinus et le cosinus, mais le concept reste valide pour d’autres fonctions. Comparée à d’autres solutions, la table de points exacts élimine l’erreur d’arrondi sur certaines valeurs tabulées, et la concentre dans l’argument réduit sur lequel sont faites les approximations polynomiales. Nous réduisons ainsi jusqu’à 45% la taille des tables, le nombre d’accès mémoire, et le nombre d’opérations flottantes impli-quées dans le processus de reconstruction.
l’erreur sur les termes correctifs. Cela pourrait mener à des termes correctifs représentables en expansions de taille strictement inférieures à n, et donc économiser des accès mémoire ainsi que les opérations flottantes associées.
Remerciements
Ce travail a été réalisé dans le cadre du projet ANR MetaLibm (ANR-13-INSE-0007).
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