A473. Briques eulériennes
Rappel sur les triplets pythagoriciens
Trois entiers (x, y, z) forment un triplet pythagoricien s’ils vérifientx2+y2=z2. Si de plus gcd (x, y, z) = 1, un tel triplet est primitif.
Propriété 1 : gcd (x, y) = gcd (y, z) = gcd (z, x) = 1 pour un triplet primitif.
Dans le cas contraire, tout diviseur premier commun à deux diviserait le troi- sième d’après la relation de Pythagore.
Conséquence : quitte à diviser (x, y, z) par gcd (x, y), nous nous ramenons à un triplet primitif dont nous allons évoquer quelques propriétés.
Propriété 2 : parmixet y,un seul est pair.
Par l’absurde, modulo 4, les résidus quadratiques sont 0 et 1 et donc z2 = x2+y2≡1 + 1 = 2.
Propriété 3 : parmixet y,un seul est divisible par 3.
De même modulo 3 où les résidus quadratiques sont 0 et 1.
Propriété 4 : parmixet y,un seul est divisible par 4.
De même modulo 8 où les résidus quadratiques sont 0 (multiple de 4), 1 et 4.
Propriété 5 : parmix, yetz,un seul est divisible par 5.
De même modulo 5 où les résidus quadratiques sont 0, 1 et 4.
Remarque : pour un triplet quelconque (multiple d’un triplet primitif), les propriétés 2 à 5 restent vraies, en remplaçant « un seul » par « au moins un ».
Retour aux briques eulériennes
Une brique dont les 3 côtés mesurenta, betc(mm) et les 3 diagonales de faces d, eetf (mm) est eulérienne si (a, b, d),(b, c, e) et (c, a, f) forment trois triplets pythagoriciens. Si de plus, gcd (a, b, c, d, e, f) = 1, une telle brique est primitive.
Propriété 6 : gcd (a, b, c) = 1 pour une brique primitive.
Dans le cas contraire, tout diviseur premier commun aux trois côtés diviserait les trois diagonales d’après les relations de Pythagore.
Propriété 7 : parmia, betc,un seul est impair.
– au moins deux sont pairs d’après la propriété 2 appliquée à (a, b, d),(b, c, e) et (c, a, f)
– la propriété 6 permet de conclure
1
Propriété 8 : parmia, betc,un est divisible par 4 et un autre par 16.
– de même avec les propriétés 4 et 6, exactement deux sont divisibles par 4 (sans nuire à la généralité, supposons qu’il s’agisse deaetb)
– sip= gcd (a, b),alors parmi ap et pb,un seul est divisible par 4 d’après la propriété 4 appliquée au triplet primitif
a p,bp,dp
Propriété 9 : parmia, betc,un est divisible par 3 et un autre par 9.
De même en remplaçant « 4 » par « 3 ».
Propriété 10 : parmia, bet c,un est divisible par 5.
– par l’absurde,d, eetfsont divisibles par 5 d’après la propriété 5 appliquée à (a, b, d),(b, c, e) et (c, a, f)
– la seule somme possible est 1 + 4, par exemple d2 =a2+b2 = 1 + 4≡0 (mod 5), mais nous aurionsa2≡c2≡b2(mod 5) (vu autrement il n’existe pas de triangle dans le graphe cyclique 1−4)
Propriété 11 : parmia, bet c,un est divisible par 11.
– par l’absurde : modulo 11, les résidus quadratiques sont 0, 1, 3, 4, 5 et 9 et les seules sommes possibles sont 1 + 3, 1 + 4, 3 + 9, 4 + 5, 5 + 9 – mais il n’existe pas de triangle dans le graphe cyclique 1−3−9−5−4 Détermination des briques et de l’âge
Voici les 5 briques eulériennes de côtés et diagonales inférieurs à 1000, premiers dans leur ensemble, et leur volumev,l’unité étantk= 33·26·5·11 (constante issue des propriétés).
brique a b c d e f v
1 44 117 240 125 267 244 13
2 85 132 720 157 732 725 5·17
3 140 480 693 500 843 707 2·5·72 4 160 231 792 281 825 808 22·7·11 5 240 252 275 348 373 365 52·7
Notons 99 > j > a > 1 les âges de Johann et Alexander. Il en découle que
vj
va =aj sachant quea+j6100 et qu’on peut raisonnablement supposerj−a>
2×20 = 40 (deux générations les séparent). En étudiant les ratios vvm
n, les seules possibilités sont (j, a) = (85,13) ou (70,25) correspondant à (vj, va) = (v1, v2) ou (v5, v3).
2
