A473 : Briques eulériennes
En mémoire de leur illustre aïeul Leonhard, Johann et son petit-fils Alexander viennent de fabriquer chacun une brique eulérienne qui a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions des trois côtés et des diagonales des six faces sont des nombres entiers de millimètres,inférieurs à 1000, qui sont premiers entre eux dans leur ensemble.
-J : il y a exactement un côté de ma brique qui est un nombre impair,
-A : dans la mienne, un côté est divisible par 4 et un autre côté est divisible par 16, -J : toujours dans la mienne, un côté est divisible par 3 et un autre côté est divisible par 9, -A : j'observe qu'un côté de ma brique est divisible par 5,
-J : ...et un côté de ma brique est divisible par 11.
Démontrer que les affirmations de Johann et d'Alexander s'appliquent à toute brique eulérienne.
Ils observent que le volume en mm3 de leur brique est le même multiple entier de leur âge exprimé en années. La somme de leurs âges est inférieure à 100. Quels sont les âges de Johann et d'Alexander ? Si a, b, c sont les cotés de la brique et d, e, f les diagonales, on a les relations
b2+c2=d2, c2+a2+e2, a2+b2=f2.
Modulo 4, un carré est congru à 0 ou 1, et l’on ne peut avoir deux cotés impairs, car alors le carré d’une diagonale serait congru à 2 : il y a donc un seul coté impair (il y en a au moins un pour que les dimensions des cotés soient premières netre elles dans leur ensemble)
Si nous considérons le coté impair, c par exemple, et un autre coté, b par exemple, la diagonale correspondante d est donc impaire (b2+c2=d2); le carré d’un nombre impair est congru à 1 modulo 8, donc b2 est divisible par 8, donc b est divisible par 4. Il en sera de même pour a, et donc pour f; nous aurons alors a=4a’, b=4b’, f=4f’ donc la relation a’2+b’2=f’2, et en reprenant le même raisonnement on déduit qu’un seul des nombres a‘ et b‘ est impair, l’autre étant divisible par 4. En résumé, un coté est impair, un autre divisible par 16 et le troisième par 4.
Modulo 3, un carré est congru à 0 ou 1. Comme pour la parité, au moins un n’est pas divisible par 3, et s’il y en avait deux, le carré de la diagonale correspondante serait égal à 2 modulo 3; de même en divisant par 3 les deux cotés qui sont divisibles, on en déduit que l’un des quotients est divisibles par 3; donc en résumé, un coté est divisible par 9, et un autre par 3, le troisième n’étant pas divisible.
Modulo 5, un carré est égal à 0, 1 ou -1 : si a2, b2 et c2 ne prenaient que les valeurs 1 ou -1, l’une des sommes représentant les carrés des diagonales vaudrait 2 ou -2, ce qui est impossible; il y a donc au moins un coté divisible par 5
Modulo 11, un carré est égal à 0, 1, 3, 4, 5, 9. On vérifie simplement qu’aucune des 125 possibilités (en donnant à a2, b2 et c2 des valeurs choisies parmi 1, 3, 4, 5, 9) ne donne des valeurs admissibles pour les trois carrés de diagonales. L’un des cotés est donc divisible par 11.
D’après Helenius, il y a 5 briques eulériennes dont les dimensions sont inférieures à 1000:
A(240, 117, 44), B(275, 252, 240), C(693, 480, 140), D(720, 132, 85), E(792, 231, 160); les volumes sont divisibles par 95040, les multiplicateurs étant respectivement 13, 175, 490, 85 et 308 : les briques A et D fournissent une solution vraisemblable pour les âges d’Alexander (13) et de son grand-père Johann (85).
