TS Correction test 1 2011-2012
EXERCICE 1 :
Pour tout natureln, on poseun= 2n 3n+1.
1. Grâce à la définition de un : ∀n ∈ N, un = 2n 3n+1 = 1
3 2
3 n
donc (un) est géométrique de raison 2
3 est de premier terme u0=1
3 .
2. ∀n∈N, Sn =u1+u2+...+un=u1× 1−
2
3 n
1−2 3
= 2 9×
1− 2
3 n
1 3
= 2 3
1−
2
3
n
.
3. Comme∀n∈N,
2
3 n
>0⇔ − 2
3 n
60⇔1−
2
3 n
61⇔ Sn6 2 3
EXERCICE 2 :
(un) est la suite définie paru0= 1 et∀n∈N,un+1=un+ 2.
1. Grâce à la définition de la suite (un), elle est arithmétique de raison 2. Ainsi, ∀n ∈ N, un = u0+ 2n ⇔ un = 1 + 2n.
2. La suite (vn) est définie par :v0= 1 et∀n∈N,vn+1=vn+un.
(a) v1=v0+u0= 1+1 =2; v2=v1+u1= 2+3 =5; v3=v2+u2= 5+5 =10; v4=v3+u3= 10+7 =17. (b) Démonter par récurence que :∀n∈N,vn= 1 +n2(Pn)
Initialisation :v0= 1 et 1 + 02= 1 doncP0 est vraie.
Hérédité : On suppose que la propriétéPn est vraie au rangn. Démontrons qu’elle est vraie au rangn+ 1.
(On supposevn= 1 +n2 pour un seulnquelconque. On démontre que vn+1= 1 + (n+ 1)2)
vn+1=vn+un(définition de (vn))⇔vn+1= 1+n2+1+2n(expression devnet deun)⇔vn+1= 1+(n+1)2. (en effet : (n+ 1)2=n2+ 2n+ 1)
Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, ∀n∈N, vn= 1 +n2. (c) Étudier la monotonie de (vn).
∀n∈N, vn+1=vn+un ⇔vn+1−vn=un ⇔vn+1−vn= 1 + 2n.
Or∀n∈N, 1 + 2n >0⇔vn+1−vn>0⇔vn+1> vn ⇔ (vn) est croissante .
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