Enoncé A332 (Diophante) Six font trois
Trouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécu- tifs.
Pour les plus courageux : démontrer que cet ensemble est unique.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1×2×3×4×5×6 = 720 = 8×9×10.
S’il y a d’autres solutions, on a
m(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)(m+ 4)(m+ 5) = (n−1)n(n+ 1).
Notons p le premier membre, et f(x) = x3 −x; cette dernière fonction est croissante pourx >1.
En développantp=f(n), on obtient f(m2+ 5m+ 10/3)−f(n) =
= 25m2/3 + 365m/3 + 910/27>0 pour m >0, et f(n)−f(m2+ 5m+ 19/6) =
=m4/2 + 5m3+ 491m2/6−305m/12−6175/216>0 pour m≥2.
D’où pour m ≥ 2 l’encadrement 1/6 < n−m2−5m−3 <1/3, impossible avecm etn entiers.
Ainsi (m, n) = (1,9) est la solution unique.
