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Ainsi, quelque soit n >0, un+1 =f(un)

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Academic year: 2022

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LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016

Devoir maison no03 – mathématiques Donné le 23/09/2015 – à rendre le 30/09/2015

Exercice 1

Soit ula suite définie par u0 = 1 et pour tout n >0, un+1 = 1

10un(20−un).

On définit la fonction f sur[0; 20] par f(x) = 1

10x(20−x). Ainsi, quelque soit n >0, un+1 =f(un).

1. Étudier les variations def sur[0; 20] et les résumer dans un tableau.

2. En déduire que pour toutx∈[0; 10], f(x)∈[0; 10].

3. Démontrer par récurrence que pour toutn ∈N,06un 6un+1 610.

Exercice 2

On appelle suite de Syracuse une suite d’entiers naturels définie de la manière suivante : u0 est un entier naturel non nul, et pour tout n>0, un+1 =

( un

2 siun est pair 3un+ 1 sinon

1. Que peut-on observer lorsqueu0 (ou un terme un quelconque de la suite) vaut 1? 2. Il existe une conjecture, dite de Syracuse, selon laquelle quelque soit la valeur de u0,

il existe un entier naturel n tel que un= 1.

Vérifier que c’est le cas lorsque u0 = 10.

3. Étant donné le premier termeu0, on appelle temps de vol le plus petit entiern (s’il existe) tel que un= 1.

Ainsi lorsque u0 = 10 le temps de vol est6.

Écrire un algorithme qui, étant donnéu0 (variableU), permet d’obtenir et d’afficher le temps de vol (variable N).

On pourra utiliser une condition de la forme « U est paire ».

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