3.18 1) 6x +19x +x 6x =x (6x +19x +x 6)
LepolynmeP(x)=6x 3
+19x 2
+x 6admetpourzérosentierspossibles:
1,2, 3et6.
P(1)=61 3
+191 2
+1 6=206=0
P( 1)=6( 1) 3
+19( 1) 2
+( 1) 6=66=0
P(2)=62 3
+192 2
+2 6=1206=0
P( 2)=6( 2) 3
+19( 2) 2
+( 2) 6=206=0
P(3)=63 3
+193 2
+3 6=3306=0
P( 3)=6( 3) 3
+19( 3) 2
+( 3) 6=0
Onsaitdon que6x 3
+19x 2
+x 6est divisible parx+3.Déterminons
lequotientgrâe au shéma de Horner.
6 19 1 6
18 3 6
6 1 2 0
On en tire 6x 3
+19x 2
+x 6=(x+3)(6x 2
+x 2).
Il reste enoreà résoudre 6x 2
+x 2=0.
=1 2
46( 2)=49=7 2
x
1
= 1 7
26
= 2
3
et x
2
= 1+7
26
= 1
2
6x 2
+x 2=6(x+ 2
3 )(x
1
2
)=3(x+ 2
3 )2(x
1
2
)=(3x+2)(2x 1)
On onlutque :
(a) 6x 5
+19x 4
+x 3
6x 2
=x 2
(x+3)(3x+2)(2x 1)
(b) S=
3; 2
3
;0; 1
2
2) Leszéros entiers possiblesde P(x)=6x 4
+x 3
+5x 2
+x 1 sont 1.
P(1)=61 4
+1 3
+51 2
+1 1=126=0
P( 1)=6( 1) 4
+( 1) 3
+5( 1) 2
+( 1) 1=86=0
Il n'ya don pas de solutionsentières.
Leszéros rationnels possibles sont 1
2 ,
1
3 et
1
6 .
P(
1
2
)=6 1
2
4
+ 1
2
3
+5 1
2
2
+ 1
2
1= 5
4 6=0
P(
1
2 )=6
1
2
4
+ 1
2
3
+5 1
2
2
+ 1
2
1=0
Lepolynme6x 4
+x 3
+5x 2
+x 1admetpar onséquent ommefateur
x+ 1
2
. Amorçonsla fatorisationà l'aidedu shéma de Horner.
6 1 5 1 1
3 1 3 1
6 2 6 2 0
6x 4
+x 3
+5x 2
+x 1=(x+ 1
2 )(6x
3
2x 2
+6x 2)=
=(x+ 1
2
)2(3x 3
x 2
+3x 1)
=(2x+1) x 2
(3x 1)+(3x 1)
=(2x+1)(3x 1)(x 2
+1)
On en déduit S=
1
2
; 1
3 .
3) 3x +11x +9x +2x=x(3x +11x +9x+2)
Lessolutions entières possibles de P(x) =3x 3
+11x 2
+9x+2 sont 1
et2.
P(1)=31 3
+111 2
+91+2=256=0
P( 1)=3( 1) 3
+11( 1) 2
+9( 1)+2=16=0
P(2)=32 3
+112 2
+92+2=886=0
P( 1)=3( 2) 3
+11( 2) 2
+9( 2)+2=46=0
Il n'ya ainsi pas de solutionsentières.
Leszéros rationnels possibles sont 1
3 et
2
3 .
P(
1
3
)=3 1
3
3
+11 1
3
2
+9 1
3
+2= 19
3 6=0
P(
1
3 )=3
1
3
3
+11 1
3
2
+9 1
3
+2= 1
9 6=0
P(
2
3
)=3 2
3
3
+11 2
3
2
+9 2
3
+2= 124
9 6=0
P(
2
3 )=3
2
3
3
+11 2
3
2
+9 2
3
+2=0
On sait que x+ 2
3
est un fateur de 3x 3
+11x 2
+9x+2. Utilisons le
shéma de Horner pour déterminer le quotient.
3 11 9 2
2 6 2
3 9 3 0
3x 3
+11x 2
+9x+2=(x+ 2
3 )(3x
2
+9x+3)=(x+ 2
3 )3(x
2
+3x+1)
=(3x+2)(x 2
+3x+1)
Il reste enoreà résoudre x 2
+3x+1=0.
=3 2
411=5
x
1
= 3
p
5
2
et x
2
= 3+
p
5
2
Endénitive,ona obtenu S=
3 p
5
2
; 2
3
; 3+
p
5
2
;0 .
