On sait que 1 √ 3 2 , puisque 1 3 4. Le but de cette activité est de concevoir et d’utiliser un algorithme permettant de déterminer un encadrement de plus en plus fin du nombre √ 3.
Partie 1
a. Construis un tableau de valeurs et la représentation graphique de la fonction f : x x
2− 3, pour x variant entre 0 et 2.
b. Explique, à l’aide du graphique, pourquoi le nombre 0 admet un antécédent compris entre 0 et 2 par la fonction f . Quelle est la valeur exacte de cet antécédent ?
c. Déduis-en un encadrement plus précis de cet antécédent.
d. Comment savoir si cet antécédent est compris entre 1 et 1,5 ou entre 1,5 et 2 ?
e. À chaque étape, on procède de la même façon, en coupant en deux l'intervalle. Poursuis ce découpage encore quelques étapes. Peux-tu donner une valeur approchée de √ 3 au millième ? Partie 2
Dans la partie précédente, on a expliqué pourquoi √ 3 était successivement compris entre 1 et 2 ; entre 1,5 et 2 ; entre 1,5 et 1,75…
Supposons qu'à une étape donnée, √ 3 soit compris entre a et b ( a b ).
Si on a bien suivi la méthode précédente, nécessairement f ( a ) est négatif et f ( b ) est positif.
On calcule alors f ( a 2 b ) .
Si f ( a 2 b ) est négatif, alors on en déduit que √ 3 est compris entre a b
2 et b .
Si f ( a 2 b ) est positif, alors on en déduit que √ 3 est compris entre a et a b
2 .
f. Dans , crée les variables a , b et m .
a et b sont les bornes successives des intervalles et m est le milieu de l'intervalle.
À chaque étape, on calcule f ( m ). Ensuite, on modifie l'intervalle, c'est-à-dire la valeur de a ou de b en fonction du signe de f ( m ).
Au départ, a est égal à 1 et b est égal à 2.
g. Voici une partie du programme correspondant. Complète-le.
h. La variable calcul contient l'image de m par la fonction f . Compare la valeur de m obtenue à la dernière étape avec la valeur de √ 3 donnée par la calculatrice. Quel écart y a-t-il entre ces deux valeurs ?
i. Quelle valeur approchée obtient-on si on répète 20 fois le découpage ? Quelle est la précision de cette valeur approchée ?
Remarque : La méthode de découpage utilisée pour réaliser cet algorithme est appelée méthode par dichotomie.
N2 • Calcul littéral et équations
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Dichotomie
0 2
− 2
1 2
a
b
ab 2
√3
