A473- Briques eulériennes
Solution proposée par Jacques Guitoneau
La solution est 85 et 13. Compte tenu de l'énoncé et des propriétés associées aux triplets données par l'énoncé , il n'est pas difficile de trouver avec son tableur ou autre outil de base tous les triplets A, B, C inférieurs à 1000 et tels que A2+B2, A2+C2 et B2+C2 soient des carrés parfaits carrés parfaits
Il y a 7 triplets de cette nature; Le volume de la brique eulérienne est divisible , comme l'indique l'énoncé, par 16*4*3*9*5*11=95040, ce qui permet de trouver immédiatement la solution recherchée.
Les triplets recherchés sont les suivants: (720,132,85) et (240,44,117). Les autres triplets candidats sont (160,792,231) ; (240,252,275) ; (720,132,351) ;(480,140,693) ; (720,756,825)
Maintenant , montrons que les propositions de l'énoncé sont justes. On sait (Voir Wiki Ci- dessous) que tout triplet pythagoricien vérifie les conditions suivantes:
Il y a équivalence entre :
(i) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
(ii) Il existe avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que
o o o
Puisque A,B, C sont premiers entre eux, au moins un d'entre eux doit être impair soit A ce nombre. Compte tenu du théorème ci-dessous pour le couple A,B, on a A=Cab*(P2-Q2) et B=Cab*2PQ,Cab étant le PGCD de A et B (Impair). Donc B est divisible par 4 puisque l'un des nombre P et Q est pair. De même C est divisible par 4.
Maintenant prenons le couple B et C dont le PGCD Cbc est divisible par 4. Le même raisonnement que précédemment permet de montrer que l'un des nombre B/Cbc ou C/Cbc , qui forment les deux premiers éléments d'un triplet pythagoricien ,doit être divisible par 4, ce qui permet de conclure qu'un des nombres B ou C doit être divisible par 16.
En ce qui concerne la divisibilité par 3, prenons les deux premiers éléments x et y d'un triplet pythagoricien, soit y est divisible par 3 , soit y ne l'est pas. Dans ce cas là p et q ne le sont pas et x= p² -q² , soit x=1-1 mod(3)=0. Donc pour n'importe quel couple (A,B) ou (A,C) ou (B,C), on doit trouver un élément divisible par 3. Il y a donc nécessairement deux éléments divisibles par 3 (et deux seuls puisque les trois nombres sont premiers entre eux). En prenant ces deux nombres et les divisant par leur PGCD, on retrouve un doublet dont un élément doit être divisible par 3, donc un élément initial est divisible par 9.
En ce qui concerne la divisibilité par 5, on sait que tout triplet pythagoricien a un élément divisible par 5 (la démonstration est aisée), supposons que A, B et C ne soient pas divisibles , nous aurions alors la situation suivante:
A2+B2 =0 (Mod5); A2+C2=0 (Mod5);
donc (A2+B2) + (A2+C2)=0 (Mod5), ou 2*A2 +(B2+C2)=0 (Mod5) et comme B2+C2 est divisible par 5 on en déduit que 2*A2 et donc que A est divisible par 5, donc en contradiction avec l'hypothèse et donc un des côté doit être divisible par 5.
Enfin en ce qui concerne la divisibilité par 11 on procède également par l'absurde en supposant qu'aucun des trois côté ne le soient. On constate que les nombres au carrés ne prennent que les valeurs suivantes Mod 11, à savoir: 1;3;4;5;9.
Un triplet pythagoricien doit être tel que que chacun des éléments appartient à cette liste et donc les deux premiers éléments (les plus petits) forment les couples suivants: (1;3) ou (1;4) ou (3;9) ou (4;5) ou (5;9). Et on constate aisément qu'on ne peut trouver trois nombres qui remplissent ces conditions puisqu'on ne peut trouver un triplet dont tous les couples appartiendraient à l'ensemble ci-dessus.: p ex si (A;B)= (1;3) , (A;C) ne peut être égal qu'à (1;4) ou à (3;9) mais (3;4) ni (3;9) n'appartiennent à la liste des couples admissibles.
En conclusion l'hypothèse n'est pas valable et au moins un des éléments doit être divisible par 11.
and we are done ...CQFD
