A459. Arithmétique au Paradis
Au Paradis, Diophante et Saint Pierre ont le dialogue suivant:
- D : Je viens de croiser trois belles âmes qui sont arrivées au Paradis il y a respectivement a , b et c années. Les trois entiers (a,b,c)forment un triplet pythagoricien primitif ( a,b et c sont premiers entre eux et a2 + b2 = c2).
Pouvez-vous me donner les trois entiers a, b et c ?
- P : Depuis que j'ai les clés du Paradis, j'ai observé un bien grand nombre de triplets pythagoriciens primitifs. Il me faudrait des heures et des heures pour les énumérer tous.
- D : Si j'ajoute le même chiffre x devant chacun des trois nombres a,b et c, j'obtiens trois entiers qui constituent un autre triplet pythagoricien primitif. Pouvez-vous me donner x, a, b et c ?
- P : Cette fois-ci, je sais répondre et la solution est unique.
Trouver x, a, b et c et justifier l'unicité de la solution.
Post Scriptum du 10 juillet 2009: Jean Moreau de Saint Martin nous signale avec humour qu'après un certain temps passé au purgatoire il a démontré que l'unicité de la solution trouvée par Saint Pierre n'est vraie que si l'ancienneté des entrées au Paradis ne dépasse pas l'âge de l'humanité (4 millions d'années par hypothèse) mais qu'à l'inverse il y a une infinité de solutions avec a,b et c quelconques. A vous de le démontrer
On distingue 2 cas
1. ܽ et ܿ ont le même nombre de chiffres
Soit ݊ le nombre de chiffres de ܽ et ܿ et ݊ − le nombre de chiffres de ܾ
(10ݔ + ܽ)ଶ+ (10ିݔ + ܾ)ଶ= (10ݔ + ܿ)ଶ
ܽଶ+ ܾଶ= ܿଶ
0 ≤ ≤ ݊ − 1 ቑ ⇒ x = 2
10ିଶ൬ܿ − ܽ − ܾ 10൰
Tableau des valeurs de ݔ
݊\ 0 1 2 3 4 5
1 ܿ − ܽ − ܾ 5 2 ܿ − ܽ − ܾ
50 2ܿ − 2ܽ −ܾ 5 3 ܿ − ܽ − ܾ
500 1
5 ൬ܿ − ܽ − ܾ
10൰ 20ܿ − 20ܽ −ܾ 5 4 ܿ − ܽ − ܾ
5000 1
50 ൬ܿ − ܽ − ܾ
10൰ 2 ൬ܿ − ܽ − ܾ
100൰ 200ܿ − 200ܽ −ܾ 5 5 ܿ − ܽ − ܾ
50000 1
500 ൬ܿ − ܽ − ܾ 10൰ 1
5 ൬ܿ − ܽ − ܾ
100൰ 20 ൬ܿ − ܽ − ܾ
1000൰ 2000ܿ − 2000ܽ −ܾ 5
Le cas ݊ = 2 et = 1 nous fait chercher les triplets avec ܾ : ݊ − = 1 chiffre et multiple de 5, donc ܾ = 5. Il n’en existe qu’un seul : {12, 5, 13} donc ݔ = 2.13 − 2.12 – 5/5 = 1
b a c b² a² a² + b² c² 5 12 13 25 144 169 169 15 112 113 225 12544 12769 12769
2. ܿ possède davantage de chiffres que ܽ
Pas le temps de poursuivre avant le 31/07.
