f On en déduit en additionnant les six identités : a2b2c2d2e2f2= 5*(A+B+C+D+E+F

A605 – Un entier qui fait des carrés Solution

On a les identités : A+B+C+D+E=a², A+B+C+D+F=b²,

A+B+C+E+F=c²,A+B+D+E+F=d²,A+C+D+E+F=e² et B+C+D+E+F=f avec par ² convention a < b < c < d < e < f

On en déduit en additionnant les six identités : a²b²c²d²e²f²= 5*(A+B+C+D+E+F) = 5*N  la somme des carrés est un multiple de 5.

Par ailleurs E=F+a²-b², D=F+a²-c², C=F+a²-d², B=F+a²-e², A=F+a²-f .De cette ² manière si a, b, c, d, e, f et F sont connus, on détermine A, B, C, D et E à partir de ces cinq équations. En les additionnant, on obtient la relation :

5*F = b²c²d²e²f²4a². Comme F>0, on a l’inégalité suivante : 4

/ ) f e d c b (

a² ² ² ² ² ² et par permutation, on obtient des inégalités de même type pour b, c,… telles que

)/4 a f e d (c

b² ² ² ² ² ² , c² (d²e² f²a² b²)/4, )/4

c b a f (e

d²  ² ² ² ² ² , e²(f²a²b²c²d²)/4 et )/4

e d c b (a

f²  ² ² ² ² ² .

Les inégalités ef 1,df 2,cf 3,bf4et af5

f²[(f 5)²(f 4)²(f 3)²(f 2)²(f 1)²]/4  28

170 15

f 0 55 30f

f²       . L’autre racine de l’équation du 2^ème degré aboutit à une impossibilité pour la séquence a, b, c, d, e et f.

La première valeur que l’on peut tester est donc f=29 . Comme a²b²c²d²e²4f², on a















 ^{2 2 2 2}

2 (e 3) (e 2) (e 1) e

4) -

(e a²b²c²d²e²4f²

27 e 3364 4.29

30 20e

5e²    ²    e=28. En poursuivant le même raisonnement avec d ,c, b et a, on obtient les conditions d > 26, c > 25, b > 24 et a > 23 la séquence à tester est définie par a=24, b=25, c=26, d=27, e=28 et f=29. Il apparaît que la somme des carrés des ces 5 termes n’est pas un multiple de 5. D’où la séquence obtenue en incrémentant d’une unité chacun des termes précédents : a=25, b=26, c=27, d=28, e=29 et f=30 . Cette séquence se révèle être la bonne car : a²b²c²d²e²f²= 4555  N=911 avec A=11, B=70, C=127, D=182, E=235 et F=286.