A567 – Une avalanche de carrés
Q₁ : On considère les 22013 expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+ ) ou moins (–) . On les multiplie toutes entres elles. Démontrez que le résultat est un carré parfait.
Q₂ : 2013 nombres réels a,b,c,d,....z sont tels que a2 ≤ 1, a2 + b2 ≤ 5, a2 + b2 + c2 ≤ 14, a2 + b2 + c² + d2 ≤ 30, a2 + b2 + c2 + d2 +...+ z2 ≤ 2 721 031 819. ( Voir la suite des nombres pyramidaux carrés http://oeis.org/A000330). Quelle est la valeur maximale de la somme de ces 2013 nombres ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Q1 – Quels que soient les signes affectés à chacun des polynômes , le produit ne peut être nul car il suffit d'un seul irrationnel présent dans chacun d'eux.
Et c'est le cas ici.
Commençons par 2 nombres a et b . Dans ce cas nous avons un produit de 4 binômes .
(- a + b).(a + b).(a – b).( -a – b) , séparés en 2 groupes donnent - (a +b)² x - (a – b)² = (a² – b²)² Maintenant , en faisant rentrer un troisième nombre c dans la danse , il vient:
P = (a + b – c)² x – (a + b + c)² x – (a – b – c)² x – (a – b + c)² = [(a + b)² – c²] x [(a – b)² – c²]
et P = [(a² – b²) – 2c².(a² + b²) + c⁴]² qui est aussi le carré d’un nombre entier puisque les exposants sont pairs et tous les radicaux ont disparu.
On peut donc réitérer le processus ad vitam aeternam et on finit toujours par faire disparaître les radicaux.
Q2 - La somme demandée est égale à celle des 2013 premiers entiers soit S = 1/2 x 2013 x 2014 = 2027091
