10.10
A1 A2
B
C
D1 D2
−−−−→
BC= −6 + 3 2−8
!
= −3
−6
!
k−BC−−−→k=
−3
−6
!
=
−3 1 2
!
=| −3|
1 2
!
= 3√
12+ 22 = 3√ 5
1) Étant donné que −AB−−−→⊥−BC−−−→, il existe λ∈Rtel que −AB−−−→=λ 6
−3
!
. En outre 3√
5 =k−AB−−−→k=
λ 6
−3
!
=
3λ 2
−1
!
= 3|λ|
2
−1
!
= 3|λ|q22+ (−1)2 = 3|λ|√
5, de sorte que|λ|= 1.
(a) Si λ= 1, alors −AB−−−→= 6
−3
!
= −3−a1 8−a2
!
. Par suite, a1 =−9 et a2 = 11, donc A(−9 ; 11).
(b) Si λ=−1, alors −AB−−−→= −6 3
!
= −3−a1 8−a2
!
. Dès lors, a1 = 3 et a2 = 5, c’est-à-dire A(3 ; 5).
2) Puisque −CD−−−→⊥−BC−−−→, il existeµ∈R tel que −CD−−−→=µ 6
−3
!
. Or k−CD−−−→k= 2k−BC−−−→k= 2·3√
5 = 6√ 5 k−CD−−−→k=
µ 6
−3
!
=
3µ 2
−1
!
= 3|µ|
2
−1
!
=
= 3|µ|q22+ (−1)2 = 3|µ|√ 5
Géométrie : produit scalaire Corrigé 10.10
L’égalité k−CD−−−→k= 6√
5 = 3|µ|√
5 implique |µ|= 2.
(a) Si µ= 2, alors −CD−−−→= 12
−6
!
= d1+ 6 d2−2
!
.
En conséquence, d1 = 6 et d2 =−4, d’oùD(6 ;−4).
(b) Si µ=−2, alors −CD−−−→= −12 6
!
= d1+ 6 d2−2
!
.
Il en ressort d1 =−18 et d2 = 8, c’est-à-dire D(−18 ; 8).
Géométrie : produit scalaire Corrigé 10.10
