Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011
TD n◦1. Les réels 1 Borne inférieure et supérieure
Exercice 1.
a) Soit∅ 6=A⊂Rune partie non-vide et bornée. Montrer que sup(a1,a2)∈A2|a2−a1|= supA−infA.
b) Soient∅ 6=A, B⊂Rdeux parties non-vides et bornées. Montrer queA∪Best borné, puis que inf(A∪B) = min{infA,infB} et que sup(A∪B) = max{supA,supB}.
c) Soient∅ 6=A, B ⊂Rdeux parties non-vides et bornées. On noteA+B={a+b: (a, b)∈A×B}. Montrer queA+B est bornée, puis que inf(A+B) = infA+ infB et sup(A+B) = supA+ supB.
Exercice 2(droite numérique achevée). On ordonneR=R∪ {±∞}par : (∀x∈R)(−∞< x <+∞).
a) Montrer que toute partie non-vide de Ra une borne supérieure et une borne inférieure.
b) Montrer que toute suite monotone (i.e., croissante ou décroissante) deRconverge dansR. c) Montrer que l’on ne peut pas étendre la multiplication àRde façon continue.
Exercice 3(lim inf et lim sup). Soit (an)n∈N∈Rune suite de réels. On définit pourn∈N: in= inf{ak :k≥n}, sn = sup{ak :k≥n}
Ceci définit deux suites (in)n∈Net (sn)n∈NdeR(voir Exercice 2).
a) Montrer que (in) est croissante, que (sn) est décroissante, et que pour toutn∈N,in≤an≤sn.
b) En déduire que (in) et (sn) convergent vers deux éléments de R notés respectivement lim infan et lim supan, et que l’on a lim infan≤lim supan.
c) On suppose que (an) converge dans R vers une limite `. Montrer que (in) et (sn) tendent vers ` (en d’autres termes, montrer que lim infan= lim supan = liman).
d) Montrer la réciproque : si lim infan= lim supan=`, alors (an) converge (dansR) vers`.
Exercice 4(parties convexes de R). Un sous-ensembleAdeRest dit convexe si : (∀(a1, a2)∈A2)(∀x∈R)(a1≤x≤a2⇒x∈A) a) Montrer que tout intervalle est convexe.
On démontre à présent la réciproque. SoitAun sous-ensemble convexe deR. On supposeA6=∅.
b) On suppose Aborné, et que infAet supA sont dansA. Montrer queA= [infA,supA].
c) On supposeAborné, et que ni infA ni supAn’est dansA. Montrer queA=] infA,supA[.
d) On suppose Ani majoré ni minoré. Montrer queA=R.
e) Écrire un plan couvrant tous les cas, et se convaincre que du résultat.
Les parties convexes de Rsont donc exactement les intervalles.
2 Axiomatique de R
Exercice 5 (autour de l’axiome d’Archimède). Montrer que les propriétés suivantes de R sont équivalentes (démontrer qu’elles s’impliquent mutuellement sans dire “elles sont toutes vraies”) :
– (∀x∈R)(∃n∈N)(x < n) ; – (∀x∈R>0)(∃n∈N>0)(n1 < x) ;
– (∀x∈R>0)(∀y∈R≥0)(∃n∈N)(nx≥y) ;
– Qest dense dansR: (∀x∈R)(∀y∈R)((x < y)⇒(∃q∈Q)(x < q < y)).
On dit queRest archimédien.
Remarque (corps non-archimédiens). Voici deux façons d’obtenir un corps non-archimédien : – par l’algèbre, ordonner le corps des fractions rationnelles R(X) en posantX incommensurable à 1 ; – par la logique, introduire des infinitésimaux dans une extension deR.
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Exercice 6(partie entière). Àx∈R, on associe le plus grandn∈Ztel que n≤x. On noteE(x) =n.
a) Montrer que cela est bien défini.
b) Tracer le graphe de la partie entière.
c) Montrer que Eest une fonction croissante.
d) Montrer que Eest sur-additive :E(x+y)≥E(x) +E(y).
e) Montrer que si n∈N>0, alorsE(E(nx)n ) =E(x).
Exercice 7(Qn’est pas complet). Montrer queQn’est pas complet, par exemple avec la sérieP 1 n!. Exercice 8(Rest complet). Montrer queRest complet.
Exercice 9. Montrer que les propriétés suivantes de R sont équivalentes (démontrer qu’elles s’impliquent mutuellement sans dire “elles sont vraies”) :
– Rsatisfait le principe de la borne supérieure ; – Rsatisfait le principe de la borne inférieure ; – Rsatisfait le principe des suites adjacentes :
si (an) est une suite croissante, (bn) une suite décroissante, que pour toutn∈N,an ≤bn, et que bn−an tend vers 0, alors il existe un uniquec∈Rtel que pour toutn∈N:an ≤c≤bn;
– Rest archimédien et complet.
Remarque.
– Qest archimédien mais pas complet.
– le complété deR(X), les corpsp-adiquesZp sont complets mais pas archimédiens.
3 Pour aller plus loin
Exercice 10. On ordonne R2 par l’ordre lexicographique (celui du dictionnaire). Montrer qu’il n’existe pas d’application strictement croissante deR2 dansR.
Exercice 11 (unicité de R). Montrer queRest l’unique corps totalement ordonné satisfaisant le principe de la borne supérieure : on montrera que siKen est un autre, il existe un unique isomorphisme de corps ordonné (isomorphisme de corps qui est croissant) entreKetR.
Exercice 12 (construction de Dedekind). Cet exercice propose une construction alternative deRà partir de Q. Une coupure deQest un sous-ensemble strictA( Qayant les propriétés suivantes :
– A6=∅;
– (∀q∈A)(∀q0∈Q)(q0< q⇒q0∈A) ; – (∀q∈A)(∃q0∈A)(q < q0)
On note (dans cet exercice !)Rl’ensemble des coupures deQ. a) Soitq∈Q. Montrer queAq={p∈Q:p < q} est une coupure.
b) Montrer que A√2={p∈Q:p2<2} est une coupure qui n’est de la formeAq pour aucunq∈Q. c) On ordonneRpar :A <RB siA(B. Montrer que<Rest une relation d’ordre total. Montrer queQest
dense dansR.
d) Montrer que toute partie non-vide et majorée de Radmet une borne supérieure. On pourra prendre une famille majoréeF de coupures, et montrer queS
A∈FAest encore une coupure.
e) SoientAetB deux coupures. Montrer que{a+b: (a, b)∈A×B}est encore une coupure.
On poseA+RB={a+b: (a, b)∈A×B}.
f) Montrer que cette loi est associative et commutative. Montrer que 0R = {q ∈ Q : q < 0} joue le rôle d’élément neutre.
g) PourA∈R, soit −A={q∈Q: (∃p > q)(−p /∈A)}. Montrer que−A est une coupure.
h) Montrer que A+ (−A) = 0R.
Rest ainsi un groupe abélien. On peut montrer que l’ordre est compatible avec l’addition ; on peut aussi définir la multiplication, mais cela devient franchement technique.
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