Enonc´e noA422 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soitb, c, d les nombres respectifs de votants bergers, chiens et brebis.
Je retiens de l’´enonc´e les relations b=c+d−34, b2=c2+d2. Il en r´esulte
0 =b2−c2−d2= (c+d−34)2−c2−d2 = 2cd−68(c+d) + 342=
= 2(c−34)(d−34)−4·172.
Donc (c−34)(d−34) = 2·172 = 578.
A chaque d´ecomposition de 578 en produit de deux facteurs entiers corres- pond une paire{c, d} et un entier b=c+d−34, puis un total de votants b+c+dd´eterminant la dur´ee (theures) du vote (5 minutes par votant, soit 12 votants `a l’heure).
578 c, d b b+c+d t 1×578 35,612 613 1260 210 2×289 36,323 325 684 114 17×34 51,68 85 204 17
C’est donc dans deux cas sur trois que le scrutin durera plus de 18 heures, et il n’y a qu’une chance sur trois que la moustache r´esiste.
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