Soit le cryptarithme CESARn=SACRE en base b (avec évidemment n<b). Nous avons donc les relations : nR=E+x

(1)

C215 Le sacre des César [à la main***** et avec l’ordinateur **]

Pierre Henri Palmade et Daniel Collignon ont trouvé qu’il y a au maximum trois acteurs qui ont reçu respectivement 2,3 et 4 César. Les trois additions correspondantes sont obtenues avec les bases 6,12 et 8. Il n’y a aucune solution en base décimale. Les couples (b_i,n_i) pour i=1,2,3 sont les suivants :

Couple (6,2) : 20143 + 20413 = 41230 en base 6

Couple(8,4) : 14637 + 14637 + 14637 + 14637 = 63174 en base 8 Couple (12,3) : 30928 + 30928 + 30928 = 92380 en base 12 Solution de Pierre Henri Palmade

Soit le cryptarithme CESAR*n=SACRE en base b (avec évidemment n<b).

Nous avons donc les relations : n*R=E+x₁*b

n*A+x1=R+x2*b n*S+x2=C+x3*b n*E+x₃=A+x₄*b

n*C+x4=S , avec xi<n pour i=1 à 4

Nous pouvons définir un graphe G orienté ayant pour sommets les chiffres en base b, avec des arcs définis par z=G(y) (y et z<b) si il existe x<n tel que z=n*y+x (mod b). Sur ce graphe, (C,S) et (R,E,A) forment des cycles.

Pour chaque n et chaque base b on peut établir la table de la relation G : par exemple pour n=2 et b=6

x 0 1

y

0 0 1

1 2 3

2 4 5

3 0 1

4 2 3

5 4 5

Les possibilités pour le cycle (C,S) sont peu nombreuses, puisque en plus n*C+x=S<b (dans l’exemple (1,3) et (2,4)). Par ailleurs, pour E=G(R ), x=0

Dans l’exemple n=2, b=6 , pour (C,S)=(1,3) on ne peut avoir que (R,E,A) (4,2,5) et pour (C,S)=(2,4) , (R,E,A)=(3,0,1) ; il suffit alors d’une vérification pour voir que seule la deuxième configuration est effectivement solution :

2*20413=41230 en base 6.

Pour n=3, on trouve de la même façon 3*30928=92380 en base 12.

Pour n=4, on obtient la solution 4*14637 = 63174 en base 8

Pour n≥5 et b≤12, on peut simplifier le calcul en remarquant que C=1 donc n²-1=x₃*b-n*x₄- x2 et par ailleurs R=[(n²b-1)*x1+(nx4+x2)b-nx3]/(n³-1)

Pour n et b fixés, les valeurs possibles de x3 sont telles que bx3>n²-1, à chaque valeur de x3

correspond alors, par division euclidienne de bx₃-n²+1 par n , x₂ et x₄et il suffit alors de tester les valeurs possibles de x1 pour voir si l’on obtient une valeur entière pour R. Il n’existe aucune solution.

En conclusion, il y a trois solutions possibles : 2*20413 = 41230, 3*30928 = 92380 et 4*14637 = 63174.

(2)

Autre solution manuelle

1) addition de deux CESAR

On cherche d’abord les solutions avec deux CESAR. D’où l’équation CESAR + CESAR = SACRE avec C et S >0.

Soit b la base dans laquelle sont exprimés les nombres CESAR et SACRE. Comme les deux nombres ont cinq lettres différentes, on a 5b12.

On observe tout d’abord en additionnant les chiffres de la troisième colonne que les égalités 2S = C et 2S+1 = C sont impossibles. En effet la 1^ère colonne donne 2C = S ou 2C = S+1. En combinant ces relations 2 à 2, on arrive à des équations dont la variable S n’a pas de solution entière >0. Il en résulte que 2S – b = C ou bien 2S + 1 – b = C.

On considère ensuite l’addition des chiffres des 5^ème,4^ème et 2^ème colonnes et l’on arrive à l’arborescence suivante :

Il y a au total 8 configurations possibles numérotées de 1 à 8 (en rouge sur le diagramme ci- dessus). Pour chacune d’elles, on a deux systèmes d’équations linéaires très simples l’un avec les variables A,E et R et l’autre avec les variables C et S. Elles permettent d’exprimer

A,C,E,R et S en fonction de b. A l’intersection de la i^ème ligne et de la j^ème colonne, on retient les solutions en A,E,R,S et C entières. D’où le tableau récapitulatif ci-après :

(3)

Il y a seulement trois cases où figurent des solutions entières en A,C,E,R et S. Comme toute lettre dans un cryptarithme désigne un chiffre et un seul, on exclut les deux cases coloriées en rose(C=R=2 et E=S=7). Il ne reste plus que la solution de la case verte : A=1, C=2, E=0, R=3 et S=4 qui donne l’équation en base 6: 20413 + 20413 = 41230.

2) addition de trois CESAR

Si on applique la même méthode à une addition de trois CESAR , l’arborescence qui permet de décrire tous les chemins possibles comporte des rameaux à 3 branches et non plus à 2 branches si bien que le nombre de configurations à examiner s’accroît sensiblement : 5^ème colonne : 3R=E ou bien 3R-b=E ou bien 3R-2b=E

4^ème colonne :3A=R ou 3A-b=R ou 3A-2b=R ou 3A+1=R ou 3A+1-b=R ou 3A+1-2b=R ou 3A+2=R ou 3A+2-b=R ou 3A+2-2b=R

3^ème colonne :3S-b=C ou 3S-2b=C ou 3S+1-b=C ou 3S+1-2b=C ou 3S+2-b=C ou 3S+2-2b=C sont les 6 cas possibles car on exclut 3S=C, 3S+1=C et 3S+2=C incompatibles avec S=3C ou S=3C+1 ou S=3C+2

2^ème colonne : 3E+1=A ou 3E+1-b=A ou 3E+1-2b=A ou 3E+2=A ou 3E+2-b=A ou 3E+2- 2b=A

1^ère colonne : 3S=C ou 3S+1=C ou 3S+2=C

Il en résulte 3*3*2*3*1=54 configurations possibles soit au total pour les 8 valeurs possibles de b =5 à 12, 54*8=432 cases élémentaires à examiner. L’analyse manuelle devient

fastidieuse.

Il est plus simple de considérer le système d’équations obtenu en effectuant l’addition colonne par colonne. On obtient :

3R = E + br ₁ 3A + r = R + b₁ r ₂ 3S + r = C + b₂ r ₃ 3E + r = A + b₃ r ₄ 3C + r = S ₄

avec les retenues r₁,r₂,r₃et r₄ < 3 et la base b telle que 5b12.

cas équations E=f(b) b = 5 b = 6 b = 7 b = 8 b = 9 b = 10 b = 11 b = 12

C=g(b)

1 E=4A et 2E+1=A impossible

2S-b=C et S=2C C=b/3

2 E=4A et 2E+1-b=A E=4(b-1)/7 A=1,E=4,R=2

2S-b=C et S=2C+1 C=(b-2)/3 C=2,S=5

3 E=4A-2b et 2E+1=A E=2(b-2)/7

2S+1-b=C et S=2C C=(b-1)/3

4 E=4A-2b et 2E+1-b=A E=2(3b-2)/7 A=7,E=8,R=4

2S+1-b=C et S=2C+1 C=(b-3)/3 C,S:pas

de solution

5 E=4A+2-b et 2E+1=A E=(b-6)/7 A=1,E=0,R=3

2S-b=C et S=2C C=b/3 C=2,S=4

6 E=4A+2-b et 2E+1-b=A E=(5b-6)/7 A=4,E=7,R=9

2S-b=C et S=2C+1 C=(b-2)/3 C=3,S=7

7 E=4A+2-3b et 2E+1=A E=3(b-2)/7 A=7,E=3,R=6

2S+1-b=C et S=2C C=(b-1)/3 C,S:pas

de solution 8 E=4A+2-3b et 2E+1-b=A E=(7b-6)/7

2S+1-b=C et S=2C+1

(4)

On peut ainsi exprimer C et E en fonction de r₁,r₂,r₃et r₄ et de la base b. S,A et R s’en déduisent automatiquement.

Ce qui donne :

8 3r br r

C- ² ³ ⁴ et

26

9br 9r - br 3 3)r -

E(b ¹ ² ³ ⁴ .

On en déduit r₂ br₃ 3r₄ 8C avec C = 1 ou 2 ou 3 et après élimination de r l’expression ₂ de E ne contient plus que les termes en r₁,r₃,bet C :

26

24bC - 3)r - b ( 3 3)r -

E (b ³

2 1 

 avec 0r₁,r₃ 2 , 5b12 et C=1,2,3.

Le nombre de cas à étudier est assez réduit si l’on tient compte du fait que r₁ et r₃ doivent être strictement positifs afin que le numérateur de la fraction qui exprime E soit lui-même positif.

Une seule solution en découle et elle est donnée par r = 2, ₁ r = 2, b = 12 et C = 3. D’où E = 0, ₃ S = 9, A = 2 et R = 8. On a ainsi 30928 + 30928 + 30928 = 92380 en base 12.

3) addition de quatre CESAR et plus

La formule qui exprime E en fonction de n,r₁,r₃,bet C s’obtient facilement à partir du système d’équations :

nR = E + br ₁ nA + r = R + b₁ r ₂ nS + r = C + b₂ r ₃ nE + r = A + b₃ r ₄ nC + r = S ₄

avec les retenues r₁,r₂,r₃et r₄ < n et la base b telle que 5b12.

On obtient après élimination de A,R et S,

1 n

nr br

C r² ₂ ³ ⁴





 et

1) (n

1)bC - n(n - n)r - n(b n)r -

E (b ₃

2 3 2 1



  avec : 0r₃n1(voir plus haut addition de 2

CESAR), 0r₁,r₂,r₄ n1, 5b12 et 1C2.

Pour n=4, le nombre de cas à analyser reste raisonnable car pour avoir le numérateur positif dans la fraction qui exprime E les deux retenues r₁et r₃ doivent être positives. Une seule solution existe et elle est donnée par

r = 3, 1 r = 3, b = 8 et C = 1. D’où E = 4, S = 6, A = 3 et R = 7. On a ainsi 14637 + 14637 + ₃ 14637 + 14637 = 63174 en base 8.

Pour n compris entre 5 et 9, on a nécessairement C = 1.D’où r₂br₃nr₄ n²1 et

1) (n

1)b - n(n - n)r - n(b n)r -

E (b ₃

2 3 2 1



  avec : 0r₃n1,0r₁,r₂,r₄ n1et 5b12.

Il n’y a aucune solution possible.

Solution informatique

Un programme très simple écrit en BASIC résout le problème en quelques secondes. Son principal intérêt est de permettre de vérifier que dans la recherche manuelle des solutions aucune n’a été oubliée…

100 FOR B=5 TO 12

(5)

110 FOR R=0 TO B-1 120 FOR A=0 TO B-1 130 IF A=R THEN 280 140 FOR S=1 TO B-1

150 IF S=R OR S=A THEN 270 160 FOR E=0 TO B-1

170 IF E=R OR E=A OR E=S THEN 260 180 FOR C=1 TO B-1

190 IF C=E OR C=S OR C=A OR C=R THEN 250 200 X=C*B^4+E*B^3+S*B^2+A*B+R

210 Y=S*B^4+A*B^3+C*B^2+R*B+E

220 IF Y/X=INT(Y/X) THEN PRINT B;Y/X,C;E;S;A;R,S;A;C;R;E,X;Y 250 NEXT C

260 NEXT E 270 NEXT S 280 NEXT A 290 NEXT R 300 NEXT B 500 END