C215 Le sacre des César [à la main***** et avec l’ordinateur **]
Solution de Pierre Henri Palmade
Soit le cryptarithme CESAR*n=SACRE en base b (avec évidemment n<b).
Nous avons donc les relations : n*R=E+x1*b
n*A+x1=R+x2*b n*S+x2=C+x3*b n*E+x3=A+x4*b
n*C+x4=S , avec xi<n pour i=1 à 4
Nous pouvons définir un graphe G orienté ayant pour sommets les chiffres en base b, avec des arcs définis par z=G(y) (y et z<b) si il existe x<n tel que z=n*y+x (mod b). Sur ce graphe, (C,S) et (R,E,A) forment des cycles.
Pour chaque n et chaque base b on peut établir la table de la relation G : par exemple pour n=2 et b=6
x 0 1
y
0 0 1
1 2 3
2 4 5
3 0 1
4 2 3
5 4 5
Les possibilités pour le cycle (C,S) sont peu nombreuses, puisque en plus n*C+x=S<b (dans l’exemple (1,3) et (2,4)). Par ailleurs, pour E=G(R ), x=0
Dans l’exemple n=2, b=6 , pour (C,S)=(1,3) on ne peut avoir que (R,E,A) (4,2,5) et pour (C,S)=(2,4) , (R,E,A)=(3,0,1) ; il suffit alors d’une vérification pour voir que seule la deuxième configuration est effectivement solution :
2*20413=41230 en base 6.
Pour n=3, on trouve de la même façon 3*30928=92380 en base 12.
Pour n=4, on obtient la solution 4*14637 = 63174 en base 8
Pour n≥5 et b≤12, on peut simplifier le calcul en remarquant que C=1 donc n2-1=x3*b-n*x4- x2 et par ailleurs R=[(n2b-1)*x1+(nx4+x2)b-nx3]/(n3-1)
Pour n et b fixés, les valeurs possibles de x3 sont telles que bx3>n2-1, à chaque valeur de x3 correspond alors, par division euclidienne de bx3-n2+1 par n , x2 et x4 et il suffit alors de tester les valeurs possibles de x1 pour voir si l’on obtient une valeur entière pour R. Il n’existe aucune solution.
En conclusion, il y a trois solutions possibles : 2*20413 = 41230, 3*30928 = 92380 et 4*14637 = 63174.
