(b) En appliquant la question précédente, montrer qu'il existe v∈E tel que ∀x∈A, y∈B, hv|xi<hv|yi

TD 5: Séparation des convexes

Exercice 1. Soit E un espace de Hilbert. On rappelle que pour tout convexe fermé C de E et tout x6∈C, il existe un (unique)y∈C tel que ∀z∈C, hx−y|y−zi ≥0.

1 SoitCun convexe fermé deE etxun point deE\C. En utilisant la projection orthogonale surC, montrer qu'il existe un vecteur v∈E tel que

∀z∈C, hv|zi<hv|xi

2 SoitAun convexe compact de E etB un convexe fermé de E tq A∩B =∅.

(a) Montrer que A−B est fermé (Indication : utiliser la compacité de A pour extraire une sous-suite.) et qu'il ne contient pas 0.

(b) En appliquant la question précédente, montrer qu'il existe v∈E tel que

∀x∈A, y∈B, hv|xi<hv|yi.

Exercice 2. Soit C un convexe compact de Rⁿ, etR déni par : R := inf{r >0| ∃x∈Rⁿ, C ⊆B(x, r)}.

On appelle boule circonscrite à C toute boule fermée de rayon R contenantC.

1 En considérant une suite décroissante (r_i) de limite R et x_i ∈ Rⁿ un point tel que C ⊆ B(xi, ri), montrer qu'il existe une boule circonscrite àC.

2 Montrons que le centre de toute boule circonscriteB(x, R) appartient à C. Par l'absurde, supposons x6∈C.

(i) Montrer qu'il existe un vecteurv etε >0tel que ∀c∈C,hv|xi+ε <hv|ci. (ii) Obtenir une contradiction en majorant kx+tv−ck² pour tsusamment petit.

Exercice 3. SoitE un espace vectoriel normé etE^∗ l'espace vectoriel des formes linéaires conti- nues sur E. Étant donné A ⊆ E on pose A^⊥ := {φ ∈ E^∗ | ∀x ∈ A, φ(x) = 0}. Montrer que vect(A) est dense dans E si et seulementA^⊥={0}.

Exercice 4. Lemme de Farkas. Soient E=Rⁿ etP1, . . . , Pm:E →Rdes fonctions anes, i.e.

P_i(x) =ha_i|xi+b_i.

où ai ∈Rⁿ et bi ∈R. On souhaite montrer qu'exactement une des deux propositions suivantes est vériée (c'est-à-dire que (i) est vraie si et seulement si (ii) est fausse) :

(i) Le système d'inégalitésPi(x)≥0a une solution.

(ii) Il existe q1, . . . , qm≥0tel que q1P1+. . . qmPm=−1.

On admettra le résultat suivant : siA, B⊆Rⁿ sont convexes fermés et disjoints, ils peuvent être séparés au sens large, c'est-à-dire qu'il existe q∈Rⁿ\ {0}tel que

∀(x, y)∈A×B, hq|xi ≤ hq|yi.

1 Montrer qu'il n'est pas possible d'avoir (i) et (ii) simultanément.

2 On suppose la propriété (i) fausse, et on considèreC={(P₁(x), . . . , P_m(x))|x∈E} ⊆R^m. (i) Montrer queK ={y ∈R^m| ∀i, y_i≥0}est convexe, d'intérieur non vide etC∩K =∅.

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(ii) En déduire qu'il existe q∈R^m non nul telle que

∀y∈C,∀z∈K hq|yi ≤ hq|zi

(iii) En déduire que pour tout i, q_i ≥ 0, puis que la forme linéaire y 7→ hq|yi est bornée sur l'espace ane C et donc constante.

(iv) Montrer que la fonction ane Q=q1P1+. . .+qmPm est constante, conclure.

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