. Montrer que g(b) 6= g(a) et qu'il existe c ∈]a, b[ tel que

(1)

1.

^(Egd01)

Soit f et g des fonctions continues sur [a, b] , dérivables sur ]a, b[ , on suppose que g

⁰

. Montrer que g(b) 6= g(a) et qu'il existe c ∈]a, b[ tel que

f(b) − f (a)

g(b) − g(a) = f

⁰

(c) g

⁰

(c) .

2.

(Egd02)

Soit f une fonction continue dans I = [a, +∞[ , dérivable dans I et qui converge vers f (a) en +∞ . Montrer qu'il existe c ∈ I tel que f

⁰

(c) = 0 . 3.

^(Egd03)

Montrer les inégalités suivantes :

∀x ∈ R , 1 − 1

2 x

²

≤ cos x

∀x ≥ 0, x − 1

6 x

³

≤ sin x ≤ x

∀x ≥ 0, x − 1

2 x

²

≤ ln(1 + x) ≤ x

∀x ∈ h 0, π

2 h

, x + 1

3 x

³

≤ tan x

∀x ∈ h 0, π

2 i

, 2

π x ≤ sin x

4.

^(Egd04)

Soit λ <

_4!¹

, montrer qu'il existe un intervalle contenant 0 dans lequel 1 −

¹₂

x

²

+ λx

⁴

≤ cos x .

5.

^(Egd05)

Montrer que, ∀α ∈]0, 1[ , ∀n ∈ N

^∗

: α

(n + 1)

^1−α

≤ (n + 1)

^α

− n

^α

≤ α n

^1−α

En déduire la limite de

1 n^α

P

n p=1

1 p^1−α

n∈N^∗

.

6.

^(Egd06)

Soit f dérivable sur [0, 1] , strictement positive sur ]0, 1[ et nulle en 0 . Etant donnés α et β strictement po- sitifs, montrer qu'il existe c dans ]0, 1[ tel que

α f

⁰

(c)

f (c) = β f

⁰

(1 − c)

f (1 − c) ( utiliser f (x)

^α

f (1 − x)

^β

) 7.

^(Egd07)

Soit f dénie dans R par

f (t) = (t

²

− 1)

ⁿ

a. En utilisant la formule de Leibniz, montrer que 1 et −1 sont des zéros de f

^(k)

pour k entre 0 et n −1 . b. Montrer que f

⁽ⁿ⁾

admet n zéros distincts dans l'in-

tervalle ] − 1, 1[ .

8.

(Egd08)

Soit I = [−1, 1] , α > 0 . Un fonction f dérivable dans I est dite α − G si et seulement si

¹

:

∀x ∈ I, |f

⁰

(x)| ≤ α |f (x)|

a. On suppose que f est C

¹

et ne s'annule pas. Montrer qu'il existe α > 0 tel que f soit α − G .

b. Soit λ ∈ R, soit f une fonction α − G , soit g une fonction β − G , soit ψ ∈ C

¹

(I) telle que ψ(I) ⊂ I . Préciser pour chaque fonction λf , f g , f ◦ ψ un γ > 0 tel qu'elle soit γ − G .

1Gpour Gronwall : une notion utile pour certaines majorations liées aux équations diérentielles

c. Soit f une fonction α − G et à valeurs posi- tives ou nulles. Étudier les variations de ϕ = (x 7→ f (x)e

^−αx

) .

Que peut-on en déduire si f (0) = 0 ? En utilisant ψ = (x 7→ −x) montrer que f est la fonction nulle.

d. Soit f une fonction α − G telle que f (0) = 0 . Mon- trer que f est la fonction nulle.

e. Montrer que toute fonction α − G qui s'annule est identiquement nulle. On pourra considérer, pour λ > 0 , des fonctions

ψ

λ

: x 7→ −1 + 2 1 + x

2

^λ

9.

^(Egd09)

On dénit une fonction f dans [0, +∞[ par : f (x) =

( 0 si x = 0 e

⁻¹^x

si x > 0

a. Montrer que f est continue dans [0, +∞[ et de classe C

^∞

dans ]0, +∞[ .

b. Calculer f

⁰

(x) , f

⁰⁰

(x) , f

⁽³⁾

(x) pour tout x > 0 . Montrer que, pour tout entier n ≥ 1 , il existe une fonction P

_n

polynomiale tel que

f

⁽ⁿ⁾

(x) = 1 x

ⁿ⁺¹

P

_n

( 1

x )e

⁻¹^x

Préciser P

₁

, P

₂

, P

₃

. Former une relation liant P

_n

, P

_n⁰

et P

_n+1

. En déduire que P

_n

est une fonction polynomiale. Préciser son degré, la valeur P

_n

(0) et le coecient du terme de plus haut degré.

c. Former un équivalent de f

⁽ⁿ⁾

strictement à droite de 0 et montrer que f ∈ C

^∞

([0, +∞[) et que f

⁽ⁿ⁾

(0) = 0 pour tous les entiers n .

d. Montrer que P

n

admet n − 1 racines strictement positives distinctes.

10.

^(Egd10)

Soit f dérivable dans I et a ∈ I un point xe de f c'est à dire tel que f (a) = a . Pour tout naturel n , on note

f

ⁿ

= f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

nfois

Calculer la valeur en a de la dérivée de f

ⁿ

.

11.

(Egd11)

Soit f ∈ C

³

([a, b]) . Montrer qu'il existe c ∈]a, b[

tel que :

f (b) = f (a) + b − a

2 (f

⁰

(a) + f

⁰

(b)) − (b − a)

³

12 f

⁽³⁾

(c) On pourra considérer la fonction auxiliaire

ϕ(x) = f (x) − f (a) − x − a

2 (f

⁰

(a) + f

⁰

(x)) − (x − a)

³

A où A est un réel à choisir.

12.

^(Egd12)

Soit f ∈ C

¹

(0, +∞[) et a un réel strictement positif tels que :

f (0) = f

⁰

(0) = 0 et f (a) = 0

Montrer qu'il existe un point M du graphe (autre que

l'origine) tel que la tangente en M passe par l'origine.

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés des fonctions dérivables

13.

^(Egd13)

Soit a et b deux réels, |a| 6= 1 . On dénit ϕ :

∀x ∈ R , ϕ(x) = ax + b On note u l'unique point xe de ϕ .

a. Soit f dénie dans R, continue en u et telle que f ◦ ϕ = f . Montrer que f est constante.

b. Soit f dénie dans R et telle que f ◦ ϕ = ϕ ◦ f . On cherche à montrer qu'il existe λ ∈ R tel que

∀x ∈ R , f (x) = λ(x − u) + u

Montrer le si f ∈ C

¹

( R ) . Montrer le sous la seule hypothèse : f dérivable en u . On pourra considérer

τ : x 7→ f(x) − u x − u

c. Étudier l'équation fonctionnelle f ◦ f = ϕ où f est dénie dans R et dérivable en u .

14.

^(Egd14)

Soit f dénie par :

∀x ∈ R : f (x) = e

^−x²

Montrer que,

∀n ∈ N : f

⁽ⁿ⁾

(x) = P

_n

(x)e

^−x²

où P

n

est un polynôme de degré n admettant n racines réelles distinctes.

15.

^(Egd15)

On se donne n nombres réels x

₁

< x

₂

< · · · < x

_n

Pour chaque entier i entre 1 et n , on dénit une fonction L

i

dans R par :

L

i

(x) = Y

j∈{1,···,n}−{i}

x − x

j

x

i

− x

j

On admet que L

⁰_i

ne s'annule que n − 2 fois au plus.

a. Montrer que : (−1)

ⁿ⁺ⁱ

L

i

−−→

+∞

+∞ (−1)

ⁱ⁻¹

L

i

−−→

−∞

+∞

b. Montrer que :

∀j < i : (−1)

^i+j+1

L

⁰_i

(x

j

) > 0

∀j > i : (−1)

^i+j

L

⁰_i

(x

j

) > 0

Il est à remarquer que l'on ne peut rien dire du signe de L

⁰_i

(x

_i

) .

16.

^(Egd16)

Soit f

₁

, f

₂

, · · · , f

_p

dérivables dans I (intervalle) et s'annulant pas. Exprimer

^f_f⁰

comme une somme pour

f = f

1

f

2

· · · f

p

.

On suppose les f

i

à valeurs strictement positives. Soit α

₁

, · · · , α

_p

réels. Exprimer

^f_f⁰

comme une somme pour

f = f

₁^α¹

f

₂^α²

· · · f

_p^α^p

.

17.

^(Egd17)

Soit f ∈ D

ⁿ

(]0, +∞[) . Soit g la fonction dénie dans I par :

∀x > 0 : g(x) = f ( 1 x )

Vérier que, pour tout entier n et tout x > 0 :

g

⁽ⁿ⁾

(x) = (−1)

ⁿ

n−1

X

p=0

n p

(n − 1)!

(n − p − 1)! x

^p−2n

f

^(n−p)

( 1 x ) 18.

^(Egd18)

Montrer que si tous les zéros d'une fonction poly-

nomiale P sont réels et simples (c'est à dire n'annulant pas la dérivée), il en est de même pour sa dérivée P

⁰

. 19.

^(Egd19)

Dans cet exercice, on admet que

∀A ∈ R ,

1 + A 1! + A

²

2! + · · · + A

ⁿ

n!

n∈N

→ e

^A

Soit λ ∈]0, 1[ . Montrer que, pour tout n ∈ N

^∗

, l'équation

1 + x 1! + x

²

2! + · · · + x

ⁿ

n! − λe

^x

= 0

admet une unique solution positive ou nulle notée α

_n

. Montrer que (α

_n

)

_n∈

N

est croissante et diverge vers +∞ . On pourra considérer les tableaux de variations des dé- rivées des fonctions

f

n

(x) = 1 + x + x

²

2! + · · · + x

ⁿ

n! − λe

^x

20.

^(Egd20)

Une forme continue du théorème de Césaro

²

.

Soit f une fonction C

¹

(]0, +∞[) . a. Montrer que

f

⁰

−−→

^+∞

0 ⇒ f (x) x

−−→

+∞

0 b. Montrer que

f

⁰

−−→

^+∞

λ ∈ R ⇒ f (x) x

−−→

+∞

λ c. Montrer que

f

⁰

−−→

^+∞

+∞ ⇒ f (x) x

−−→

+∞

On peut considérer un a > 0 et écrire, pour x ≥ a : f (x)

x = f (x) − f (a)

x + f (a) x

21.

^(Egd21)

Soit f dérivable dans [a, b] telle que f

⁰

(a) < 0 et f

⁰

(b) > 0 . Le théorème de Darboux énonce qu'il existe un c ∈]a, b[ tel que f

⁰

(c) = 0 .

a. Montrer ce théorème sans utiliser le théorème de Rolle mais en adaptant sa démonstration.

b. Redémontrer le résultat en utilisant directement le théorème de Rolle.

c. Montrer que l'image d'un intervalle par une fonc- tion dérivée est un intervalle (même si cette fonc- tion dérivée n'est pas continue).

2Voir l'exercice sc8 de lafeuille d'exercices les suites de réels

(3)

22.

^(Egd22)

Soit f une fonction C

¹

([a, b]) et deux fois dérivable dans ]a, b[ . En considérant la fonction auxiliaire

x → f (a) − f (x) − (a − x)f

⁰

(x) − K(a − x)

²

avec K ∈ R bien choisi, montrer qu'il existe c ∈]a, b[ tel que

f (a) = f (b) + (a − b)f

⁰

(b) + (a − b)

²

2 f

⁰⁰

(c) 23.

^(Egd23)

Soit ϕ une fonction C

²

( R ) et a ∈ R xé. On dénit

une fonction τ dans R par :

τ(x) =







ϕ

⁰

(a) si x = a ϕ(x) − ϕ(a)

x − a si x 6= a

Montrer que τ est C

¹

( R ) et préciser τ

⁰

(a) . (Utiliser l'exercice 22)

24.

^(Egd24)

Soit f ∈ C

¹

[0, 1] telle que f (0) = 0 . Montrer la convergence de la suite dénie par

u

n

=

n

X

k=1

f ( k n

²

)

et préciser sa limite. En déduire la limite de

n

Y

k=0

1 + k

n

²

!

n∈N

. 25.

^(Egd25)

Montrer que

x → x

ⁿ

e

^x¹

⁽ⁿ⁺¹⁾

=

x → (−1)

ⁿ⁺¹

x

ⁿ⁺²

e

^x¹

. 26.

^(Egd26)

Soit n entier non nul. Montrer que

√

n + 1 − √ n < 1

2 √ n < √

n − √ n − 1 En déduire la partie entière de

1 2

1 + 1

√ 2 + 1

√ 3 + · · · + 1

√ 10000

27.

(Egd27)

Soit n ∈ N

^∗

et f dénie dans R par f(x) =

n

X

k=1

a

_k

sin kx Montrer que

(∀x ∈ R , |f (x)| ≤ | sin x|)

⇒ |a

₁

+ 2a

₂

+ 3a

₃

+ · · · + na

_n

| ≤ 1 28.

^(Egd28)

Soit f dénie dans R par

f (x) = 1

√ 1 + x

²

a. Montrer que f ∈ C

^∞

( R ) et que pour n ∈ N, il existe un polynôme P

n

tel que, pour tout réel x ,

f

_n⁽ⁿ⁾

(x) = P

_n

(x) (1 + x

²

)

ⁿ⁺¹²

b. Montrer que

P

n+1

(x) = (1 + x

²

)P

_n⁰

− (2n + 1)xP

n

(x) c. Montrer que

P

_n+1

+ (2n + 1)xP

_n

(x) + n

²

(1 + x

²

)P

_n−1

(x) = 0 puis P

_n⁰

(x) = −n

²

P

_n−1

(x) .

d. Calculer P

_n

(0) .

29.

^(Egd29)

Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I conte- nant a , b , c avec a < c < b . Montrer qu'il existe d ∈]a, b[

tel que

f (c) = f (a) + c − a

b − a (f (b) − f (a)) + (c − a)(c − b) 2 f

⁰⁰

(d) Considérer la fonction auxiliaire

ϕ(x) = f (x) − f (a) − x − a

b − a (f (b) − f(a))

− (x − a)(x − b)

2 A

où A est choisi pour que

ϕ(a) = ϕ(b) = ϕ(c)

En déduire une majoration de l'erreur commise en ap- prochant f par interpolation linéaire entre a et b lors- qu'elle est de classe C

²

.

30.

^(Egd30)

Autour des dérivées successives de arctan . a. On note θ(x) = arctan x .

Exprimer, cos θ(x) , sin θ(x) , θ

⁰

(x) en fonction de x (sans θ ) et θ

⁰

(x) en fonction de cos θ(x) . Former des expressions trigonométriques des θ

^(k)

pour les premières valeurs de k . En déduire, pour n ≥ 1 ,

arctan

⁽ⁿ⁾

(x) = (n − 1)!

(1 + x

²

)

ⁿ²

sin n( π

2 + arctan x) b. Montrer que arctan

⁽ⁿ⁾

(x) est de la forme

P

n

(x) (1 + x

²

)

ⁿ

où P

n

est une fonction polynomiale de degré n − 1 . Montrer, sans utiliser la première question, que P

_n

admet n − 1 racines réelles.

c. Exprimer les racines de P

n

en utilisant a..

31.

^(Egd31)

On veut montrer qu'une fonction continue sur un intervalle [a, b] dérivable à droite sur [a, b[ avec une dé- rivée à droite nulle est constante.

Pour tout λ > 0 , on dénit la partie E

λ

de [a, b] formée par les x tels que

∀t ∈ [a, x], f (t) ≤ f (a) + λ(t − a)

Montrer que E

λ

contient un élément strictement plus

grand que a . On note β = sup E

_λ

. Montrer que β ∈ E

_λ

.

Montrer que β = b puis conclure.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés des fonctions dérivables

32.

^(Egd32)

Soit f une fonction dénie dans R

⁺

, continue en 0 et telle que, en 0

⁺⁺

,

f (2x) − f (x)

x → l ∈ R

Montrer que f est dérivable en 0 avec f

⁰

(0) = l . 33.

^(Egd33)

Pour quels x ∈ R, l'expression

e

^x−^x¹

− 1 x −

¹_x

est-elle dénie ? Dénir une fonction avec cette expres- sion, la prolonger par continuité là où c'est possible.

34.

(Egd34)

Soit f ∈ C

ⁿ

([a, b]) , telle que f

^(k)

(a) = 0 pour tous les k ∈ J 1, n K. Montrer que

|f (b) − f (a)| ≤ (b − a)

ⁿ

n! M

_n

avec M

n

= max

[a,b]

f

⁽ⁿ⁾

. 35.

(Egd35)

Soit I un intervalle et f ∈ C

²

(I) . On suppose que

f

⁰

est croissante

³

Montrer que le graphe de f est au des- sus de ses tangentes. Montrer la réciproque. Raisonner par l'absurde et former un tableau de variations.

36.

^(Egd36)

Soit f une fonction dérivable dans R et telle que f

²

+ (1 + f

⁰

)

²

≤ 1.

Montrer que f est la fonction nulle.

3on dit que la fonction est convexe.

(5)

1.

^(Cgd01)

Appliquer le théorème de Rolle à

x 7→ (g(x)−g(a)(f (b)−f (a))−(f(x)−f (a))(g(b)−g(a)) 2.

^(gd02)

Montrons d'abord par l'absurde que l'hypothèse sur la limite en +∞ égale à f (a) entraîne que la fonction n'est pas injective.

Comme elle est continue, elle serait alors strictement monotone. Dans le cas croissant sa limite en +∞ serait toujours strictement plus grande que f (a) ou même +∞

en contradiction avec l'hypothèse. De même dans le cas décroissant.

Comme f n'est pas injective, il existe u < v tels que f (u) = f (v) . On peut appliquer le théorème de Rolle à f dans [u, v]

3.

^(Cgd03)

Former les tableaux de variations de fonctions bien choisies, éventuellement en dérivant plusieurs fois pour se fonder sur une inégalité évidente.

4.

(Cgd04)

Soit f dénie par

f (x) = cos x − 1 + 1

2 x

²

− λx

⁴

.

Dérivons 4 fois pour trouver une dérivée dont on controle le signe.

f

⁽⁴⁾

(x) = cos x − 4! λ ⇒ f

⁽⁴⁾

(0) > 0 car 4!λ < 1.

Par continuité, il existe α > 0 tel que f

⁽⁴⁾

> 0 dans [−α, +α] . De plus,

f (0) = f

⁰

(0) = f

⁰⁰

(0) = f

⁽³⁾

(0) = 0.

On forme des tableaux de variations

−α 0 α

f

⁽⁴⁾

+ > 0 + f

⁽³⁾

< 0 % 0 % > 0 f

⁽²⁾

> 0 & 0 % > 0 f

⁽¹⁾

> 0 % 0 % > 0 f > 0 & 0 % > 0 La dernière ligne entraine

∀x ∈ [−α, α] , f (x) ≥ 0.

5. pas de correction pour Egd05.tex 6. pas de correction pour Egd06.tex 7. pas de correction pour Egd07.tex 8.

^(Cgd08)

Fonctions de Gronwall.

a. Si f est C

¹

et ne s'annule pas la fonction

^f_f⁰

est continue sur le segment I . Elle est donc bornée (et atteint ses bornes) ce qui entraine qu'elle est M

₁

−G avec M

₁

= max

_I

|f

⁰

| .

b. Avec les formules sur la dérivabilité des résultats d'opérations, on montre

λf est α − G , f g est (α + β) − G ,

f ◦ ψ et (M

1

α) − G avec M

1

= max

I

|ψ

⁰

| .

c. Comme f est α − G et à valeurs positives,

|f

⁰

(x)| ≤ α|f (x)| ⇒ f

⁰

(x) ≤ αf(x)

On en déduit en dérivant que ϕ = (x 7→ f (x)e

^αx

) est décroissante. La fonction ϕ est à valeurs posi- tives, décroissante dans I = [−1, 1] . Si elle est nulle en 0 , elle est nulle dans [0, 1] .

D'après b., la fonction f ◦ ψ vérie les mêmes hypo- thèses que f . Elle est nulle dans [0, 1] ce qui entraine que f est nulle dans [−1, 0] .

d. Les hypothèses sont semblables aux précédentes sauf que l'on ne suppose plus que f est à va- leurs positives. On s'y ramène avec la question b et f

²

= f f . La nullité de f

²

entraine celle de f . e. Les hypothèses sont semblables aux précédentes

sauf que f s'annule en un a ∈ [−1, +1] dont on ne sait rien. On se propose de le ramener en 0 à l'aide d'une fonction ψ

_λ

.

Si −1 < a < 1 :

ψ

_λ

(0) = a ⇔ −1 + 2

^1−λ

= a

⇔ (1 − λ) ln(2) = ln(a + 1)

⇔ λ = 1 − ln(a + 1) ln(2) Si a = −1 ou 1 , on peut raisonner comme en c.

9. pas de correction pour Egd09.tex 10. pas de correction pour Egd10.tex 11. pas de correction pour Egd11.tex 12.

^(Cgd12)

a

Fig. 1 Exercice 12

Soit m > 0 et M le point de coordonnées (m, f(m)) . L'équations de la tangente au graphe en ce point est

y − f(m) = f

⁰

(m)(x − m)

Elle passe par l'origine du repère si et seulement si f (m) = f

⁰

(m)m

Il s'agit de montrer que, sous les hypothèses données, il existe un m > 0 tel que f (m) = f

⁰

(m)m .

Considérons la fonction ϕ dénie par :

ϕ(x) =





 f (x)

x si x > 0 0 si x = 0

Par hypothèse, elle est continue en 0 et dérivable dans

]0, +∞[ . De plus ϕ(0) = ϕ(a) = 0 , on peut donc lui

(6)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés des fonctions dérivables : corrigés

appliquer le théorème de Rolle entre 0 et a . Il existe un m > 0 tel que

ϕ

⁰

(m) = 0 ⇔ f

⁰

(m)

m − f (m)

m

²

= 0 ⇔ mf

⁰

(m) = f (m) 13.

(Cgd13)

a. Pour un x réel quelconque, on dénit une suite par x

₀

= x et x

_n+1

= ϕ(x

_n

)

Alors

∀n ∈ N , x

n

= a

ⁿ

(x − u) + u et f (x

n

) = f (x) Si |a| < 1 la suite converge vers u et f(x) = f (u) car f est continue en u .

Si |a| > 1 , on remarque que l'invariance de f est aussi valable pour la bijection réciproque ce qui per- met de se ramener au premier cas.

b. Invariance de la dérivée ou du taux.

c. On se ramène au b. en considérant f ◦ f ◦ f . Le coecient a doit être strictement positif pour qu'il existe des solutions.

14. pas de correction pour Egd14.tex 15. pas de correction pour Egd15.tex 16. pas de correction pour Egd16.tex 17. pas de correction pour Egd17.tex 18. pas de correction pour Egd18.tex 19.

^(Cgd19)

Notons

f

_n

(x) = 1 + x + x

²

2! + · · · + x

ⁿ

n! − λe

^x

et remarquons que f

n^(k)

= f

_n−k

On peut dériver n fois pour simplier la partie polynomiale

f

_n,λ⁽ⁿ⁾

= 1 − λe

^x

On en déduit le tableau de variations

0 +∞

1 − λ > 0

f

n⁽ⁿ⁾

&

−∞

> 0

f

n⁽ⁿ⁻¹⁾

% &

1 − λ > 0 −∞

La situation se reproduit lorsque l'ordre des dérivations diminue. À droite de 0 , la fonction commence par croître en restant positive avant de décroître (à partir d'un α

k

) vers −∞ . Elle admet donc un unique zéro noté α

_n

et cet enchainement de tableaux de variations montre que la suite est bien croissante. D'autre part d'après le résultat admis, pour tout A ∈ R,

(Λ

_n

(A))

_n∈

N

→ 1 Comme λ < 1 , il existe N

_A

tel que

n ≥ N

A

⇒ Λ

n

(A) > λ ⇒ f

n,λ

(A) > 0

⇒ A < α

_n

Cela prouve la divergence vers +∞ .

20.

^(Cgd20)

a. On xe un a > 0 puis on majore avec l'inégalité des accroissements nis.

∀x ≥ a, f (x) = f (a) + (f (x) − f (a))

⇒ |f (x)| ≤ |f (a)| + |f (x) − f (a)|

≤ |f (a)| + (x − a) max

[a,X]

|f

⁰

|

⇒ |f (x)|

x ≤ |f (a)|

x + max

[a,X]

|f

⁰

|.

On termine comme pour le théorème de Cesaro . Pour tout ε > 0 , il existe a > 0 tel que

max

[a,X]

|f

⁰

| ≤ ε 2 .

Ce a étant xé,

^|f(a)|_x

→ 0 . Il existe b > a tel que x > b ⇒ |f (x)|

x ≤ ε 2 + ε

2 . b. On se ramène au a. appliqué à g dénie par

g(x) = f (x) − λx.

c. Cette fois l'inégalité des accroissements nis per- met d'écrire

f (x)

x ≥ − |f (a)|

x + x − a

x min

[a,X]

|f

⁰

|.

Pour tout E , il existe a assez grand pour que x ≥ a ⇒ min

[a,x]

|f

⁰

| ≥ 4E.

Ce a étant xé, il existe b > a assez grand pour que x ≥ b ⇒ x − a

x ≥ 1

2 et |f (a)|

x ≤ A

On en déduit

x ≥ b ⇒ f (x)

x ≥ −A + 1

2 4A = A.

21.

(correction gd21)

a. La fonction f est continue sur le segment [a, b] , elle est donc bornée et atteint ses bornes. Considérons en particulier la borne inférieure m et le minimum global x

_m

en lequelle elle est atteinte : f(x

_m

) = m . Une erreur classique serait de penser que la fonc- tion est localement décroissante au voisinage de a ou localement croissante au voisinage de b . Avec nos hypothèses, rien ne permet de l'armer. Le raison- nement qui suit utilise uniquement la dénition de la convergence

De f

⁰

(a) < 0 , on tire qu'il existe un α > 0 tel que

∀x ∈]a, a +α[, f (x) − f (a)

x − a < 0 ⇒ f (x) − f (a) < 0 Il existe donc des x ∈ [a, b] tels que f (x) < f(a) ce qui entraine que a ne peut pas être un minimum global.

On montre de même que x

m

6= b . Ainsi le mini-

mum global est à l'intérieur du segment. Comme

la fonction est dérivable en ce point sa dérivée est

nulle.

(7)

22.

^(Cgd22)

Notons ϕ la fonction auxiliaire proposée par l'énoncé. Comme ϕ(a) = 0 , on choisit K pour que ϕ(b) = 0 ce qui permet d'utiliser le théorème de Rolle ( ϕ est C

¹

) entre a et b . Il existe c ∈ ]a, b[ tel que ϕ

⁰

(c) = 0 avec

ϕ

⁰

(x) = −(a − x)f

⁰⁰

(x) + 2K(a − x)

= (a − x) (−f

⁰⁰

(x) + 2K) On en déduit K =

^f⁰⁰₂^(c)

.

23.

(Cgd23)

On montre que τ est C

¹

en a en utilisant le théo- rème de la limite de la dérivée.

Pour tout x 6= a ,

τ

⁰

(x) = ϕ

⁰

(x)(x − a) − ϕ(x) + ϕ(a) (x − a)

²

En utilisant l'exercice 22 avec ϕ pour f et x pour b , il existe c

_x

entre a et x tel que

τ

⁰

(x) =

(a−x)² 2

f

⁰⁰

(c

x

)

(x − a)

²

= f

⁰⁰

(c

_x

) 2

Comme f

⁰⁰

est continue en a , τ

⁰

− →

^a ^f⁰⁰₂^(a)

ce qui assure que τ est dérivable en a avec

τ

⁰

(a) = f

⁰⁰

(a) 2 .

24.

^(Cgd24)

Pour chaque k entre 1 et n , écrivons le théorème des accroissements nis entre 0 et

_n^k2

. Il existe θ

k

∈]0,

_n^k2

[ tel que f (

_n^k₂

) =

_n^k₂

f

⁰

(θ

_k_n^k₂

) . On en déduit

u

n

=

n

X

k=1

k

n

²

f

⁰

(0) +

n

X

k=1

k n

²

f

⁰

(θ

k

n

²

) − f

⁰

(0)

avec

n

X

k=1

k

n

²

f

⁰

(0) = n(n + 1) 2n

²

f

⁰

(0) qui converge vers

¹₂

f

⁰

(0) et

n

X

k=1

k n

²

f

⁰

(θ

k

n

²

) − f

⁰

(0)

≤ n(n + 1) 2n

²

sup

|f

⁰

(x) − f

⁰

(0)|, x ∈ [0, 1 n ]

La continuité de f

⁰

en 0 entraine que cette suite converge vers 0 . La limite de la suite des u

_n

est donc

1 2 f

⁰

(0).

En prenant le ln du produit, on est ramené à la somme précédente avec la fonction f(x) = ln(1 + x) dont la dérivée en 0 est égale à 1 . On en déduit que la limite de ce produit est √

e .

25.

^(Cgd25)

Raisonner par récurrence. Une formule de Leibniz avec deux termes seulement est utilisée.

26.

^(Cgd26)

On applique l'inégalité des accroissements nis à la fonction racine carrée dans les intervalles [n − 1, n]

et [n, n + 1] . On somme les encadrements de 1 à n . Des simplications en dominos conduisent à un encadrement montrant que la partie entière cherchée est 99 .

27.

^(Cgd27)

On remarque que

a

₁

+ 2a

₂

+ · · · + na

_n

= f

⁰

(0)

On raisonne ensuite par l'absurde en formant des ta- bleaux de variations.

Si f

⁰

(0) > 1 , il existe un α > 0 tel que f

⁰

reste à valeurs strictement plus grandes que 1 dans [−α, α] . On en dé- duit que f (x) > sin x pour 0 < x < α . On obtient une autre contradiction dans l'intervalle à gauche de 0 pour f

⁰

(0) < −1 .

28. pas de correction pour Egd28.tex

29.

(Cgd29)

Pour toute valeur de A , ϕ(a) = ϕ(b) = 0 . Il existe une seule valeur de A pour laquelle ϕ(c) = 0 :

A = 2

(c − a)(c − b)

f (c) − f (a) − c − a

b − a (f (b) − f (a))

On applique le théorème de Rolle à ϕ entre a et c puis entre c et b . Il existe d et e tels que

a < d < c < e < b ϕ

⁰

(d) = ϕ

⁰

(e) = 0

On applique le théorème de Rolle à ϕ

⁰

entre d et e , il existe δ tel que ϕ

⁰⁰

(δ) = 0 . Or

ϕ

⁰

(x) = f

⁰

(x) − f (b) − f(a)

b − a − x − a + x − b

2 A

ϕ

⁰⁰

(x) = f

⁰⁰

(x) − A

On en tire A = f

⁰⁰

(δ) puis la formule demandée.

La diérence entre f et son interpolation linéaire est E(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

b − a (x − a) Notons M

2

un majorant de |f

⁰⁰

| . On déduit de la pre- mière question que, pour tout c ∈]a, b[ ,

|E(c)| ≤ (c − a)(b − c)

2 M

₂

On étudie la fonction de c pour trouver le plus petit majorant.

30.

^(Cgd30)

a. On sait que cos θ(x) > 0 car −

^π₂

< θ(x) <

^π₂

donc

cos θ(x) = 1

p 1 + tan

²

θ(x) = 1

√ 1 + x

²

, sin θ(x) = cos θ(x) tan θ(x) = x

√ 1 + x

²

, θ

⁰

(x) = 1

1 + x

²

= cos

²

θ(x).

(8)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés des fonctions dérivables : corrigés

Pour alléger, on note θ au lieu de θ(x) . On en déduit θ

⁰

= cos

²

θ

⇒ θ

⁽²⁾

= −2θ

⁰

cos θ sin θ = − cos

²

θ sin 2θ

⇒ θ

⁽³⁾

= −2θ

⁰

cos θ (− sin θ sin 2θ + cos θ cos 2θ)

= −2 cos

³

θ cos 3θ

θ

⁽⁴⁾

= 6θ

⁰

cos

²

θ (sin θ cos 3θ + cos θ sin 3θ)

= 6 cos

³

θ sin 4θ Pour tout ϕ ∈ R :

cos(ϕ + π

2 ) = − sin ϕ, sin(ϕ + π

2 ) = cos ϕ.

On peut alors réécrire les relations précédentes : θ

⁰

= cos θ sin(θ + π

2 ) θ

⁽²⁾

= cos

²

θ sin

2(θ + π 2 ) θ

⁽³⁾

= 2 cos

³

θ sin

3(θ + π 2 ) θ

⁽⁴⁾

= 3! cos

⁴

θ sin

4(θ + π 2 )

. On vérie alors par récurrence la relation

θ

⁽ⁿ⁾

= (n − 1)! cos

ⁿ

θ sin 4(θ + π

2 ) . La relation demandée par l'énoncé en est une re- formulation.

b. Comme 1 + x

²

> 0 , il existe une fonction P

n

telle que

∀x ∈ R , arctan

⁽ⁿ⁾

(x) = P

n

(x) (1 + x

²

)

ⁿ

.

Les fonctions P

_n

vérient une relation de récur- rence.

∀x ∈ R , P

1

(x) = 1,

P

n+1

(x) = (1 + x

²

)P

_n⁰

(x) − 2nxP

n

(x).

On en déduit que P

n

est polynomiale de degré n−1 . Comme P

1

est de degré 1 , il admet une racine réelle.

Supposons que P

n

admette n − 1 racines réelles.

Par le théorème de Rolle, arctan

⁽ⁿ⁺¹⁾

(donc P

ⁿ⁺¹

) s'annule entre chacune donc admet n − 2 racines.

Soit a la plus petite et b la plus grande. Le fait que arctan

⁽ⁿ⁺¹⁾

converge 0 en +∞ et −∞ permet d'obtenir deux autres racines (à rédiger).

c. En utilisant la question a. On obtient que les ra- cines de P

n

sont les

− cot kπ

n avec k ∈ J 1, n − 1 K .

31.

^(Cgd31)

La dénition de la dérivabilité à droite en a avec λ dans le rôle de ε assure l'existence d'un α

λ

(a) . On vérie facilement que a + α

λ

(a) ∈ E

λ

.

Pour montrer que β ∈ E

_λ

, on doit prouver la majoration ane pour tous les t ∈ [a, β] .

Si t < β , il n'est pas un majorant de E

λ

. Il existe donc un x dans E

λ

strictement plus grand que t . Par dénition de E

λ

, la majoration ane est alors vériée. Pour avoir la majoration ane en β , il sut de passer à la limite strictement à gauche de β dans l'inégalité. On en conclut donc que β ∈ E

λ4

.

Supposons β < b . On peut utiliser la dérivabilité en β . Il existe un α

λ

(β) tel que

∀t ∈ [β, β + α

_λ

(β)], f(t) ≤ f (β) + λ(t − β) f(β ) ≤ f (a) + λ(β − a)

)

⇒ f (t) ≤ f (a) + λ(t − f (a) en additionnant. Cela prouve que β + α

λ

(β ) ∈ E

λ

ce qui est contraire à la dénition de β comme borne supé- rieure. On doit donc avoir β = b .

On peut donc écrire que pour tout t ∈ [a, b] et tous λ > 0 ,

f (t) ≤ f (a) + λ(t − a)

Pour t xé et λ quelconque, on en déduit f (t) ≤ f(a) . On obtient l'autre inégalité en appliquant ce résultat à

−f qui vérie les mêmes propriétés.

32. pas de correction pour Egd32.tex

33.

(Cgd33)

La fonction f est dénie dans R \ {−1, 0, 1} .

∀x ∈ R \ {−1, 0, 1} , f (x) = e

^x−¹^x

− 1 x −

_x¹

. En 0 , on ne peut la prolonger par continuité car

f (x) = x x

²

− 1

e

^x

e

⁻^x¹

− 1

→

( 0 si x > 0 +∞ si x < 0 En revanche, en a ∈ {−1, +1} on peut la prolonger par continuité en posant f (a) = 1 car 1 est le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 et

x − 1 x → 0.

Reprendre cet exercice dans le cadre de la feuille sur les développements pour étudier la dérivabilité en − ou +1 . 34. pas de correction pour Egd34.tex

35. pas de correction pour Egd35.tex

36.

^(Cgd36)

De f

²

et (1 + f

⁰

)

²

majorés par 1 , on déduit que

∀x ∈ R , f(x) ∈ [−1, 1] , f

⁰

(x) ∈ [−2, 0] . Donc f est bornée et décroissante.

On va montrer que l'existence d'un a tel que f (a) < 0 ou f(a) > 0 conduit à des contradictions.

Soit a ∈ R tel que f (a) < 0 . Considérons [a, +∞[ .

∀x ≥ a, f(x) ≤ f (a) < 0 ⇒ f (x)

²

≥ f (a)

²

⇒ (1 + f

⁰

(x))

²

≤ 1 − f(a)

²

⇒ f

⁰

(x) ≤ −1 + p

1 − f (a)

²

| {z }

=−δ 4on dit queE_λest fermé.

(9)

avec δ > 0 . La fonction x 7→ f (x) + δx est décroissante dans [a, +∞[ donc

∀x ≥ a, f(x) ≤ −δx + f (a) + δa.

On en déduit que f diverge vers −∞ en +∞ en contra- diction avec son caractère borné.

S'il existe un réel a tel que f (a) > 0 , on se place dans l'intervalle ]−∞, a] . Comme f est décroissante,

x ≤ a ⇒ f (x) ≥ f (a) > 0 ⇒ f (x)

²

≥ f (a)

²

> 0

⇒ (1 + f

⁰

(x))

²

≤ 1 − f (x)

²

≤ 1 − f (a)

²

⇒ 1 + f

⁰

(x) ≤ p

1 − f (a)

²

⇒ f

⁰

(x) ≤ −1 + p

1 − f (a)

²

| {z }

=−α