L’´enonc´e est vrai sif ∈C0([a, b];E)

Universit´e Bordeaux 1 - CPBX - PC ´ecoles S4 - Correction du devoir surveill´e du 6 mars 2010.

Exercice 1. Indiquez pour chaque ´enon¸c´e suivant s’il est VRAI ou FAUX. Dans ce dernier cas, donner un contre-exemple et modifier l’´enonc´e pour qu’il devienne vrai.

a. Toute fonction f ∈CM([a, b];E) v´erifiantRb

a kf(t)kdt= 0 est identiquement nulle.

FAUX comme le montre le contre-exemplef(t) =1_{a}(t). L’´enonc´e est vrai sif ∈C⁰([a, b];E).

b. La d´eriv´ee d’une fonction f qui est C¹ par morceau sur [a, b], est prolongeable en une fonction continue par morceau sur [a, b].

VRAI.

c. Pour toute fonctionf qui soit C¹ par morceau sur [a, b] et tout x, y ∈ [a, b], on a f(y)−f(x) = Ry

xf⁰(t)dt.

FAUX comme le montre le contre-exemplef(t) =1_{a}(t). L’´enonc´e est vrai sif appartient de plus `a C⁰([a, b];E).

Exercice 2. En utilisant une somme de Riemann, montrer que

i=2n

X

i=n

1 i

admet une limite, que l’on d´eterminera, quandntend vers l’infini.

On ´ecrit

i=2n

X

i=n

1 i =

n

X

k=0

1 k+n = 1

n+ 1 n

n

X

k=1

1 1 + ^k_n →

Z 1

0

1

1 +tdt= ln 2.

Exercice 3. a. Calculer l’int´egrale

I= Z 1

0

1 1−t+t²dt.

On ´ecrit

I= Z 1

0

1 t−¹₂²

+³₄ dt= 4

3 Z 1

0

1 √2t

3−^√1

3

² + 1

dt.

Le changement de variablex=^√2t

3−^√1

3 donne :

I= 4 3

√3 2

Z ^√1₃

−^√1

3

1

1 +x²dx= 2

√ 3

arctan 1

√

3 −arctan

− 1

√ 3

= 2

√ 3

π 6 +π

6

= 2π 3√

3.

b. Montrer que la suite

S_n=

n

X

k=1

n n²−nk+k² admet une limite, que l’on d´eterminera, quandntend vers l’infini.

On remarque que Sn=Pn k=1

1

nf(_n^k) avecf(t) =_1−t+t¹ 2. Puique 1−t+t² ne s’annule pas surR(car le discriminant vaut -3),f est continue sur [0,1] et le th´eor`eme de la convergence des sommes de Riemann assure queSn convergeI quandntend vers l’infini.

1

2

Exercice 4. a. Calculer

Z ¹₂

0

1 1 +t²dt+

Z ¹₃

0

1 1 +t²dt.

Cette int´egrale vaut arctan¹₂ + arctan¹₃. Or comme 0< ¹₂,¹₃ <1, on a 0<arctan¹₂, arctan¹₃ < ^π₄, et donc 0 < arctan¹₂ + arctan¹₃ < ^π₂. On calcule tan arctan¹₂+ arctan¹₃

= 1 et on en d´eduit que arctan¹₂+ arctan¹₃ = ^π₄.

b. Montrer que pour toutt≥0 etN entier, on a

1 1 +t²−

N

X

k=0

(−1)^kt^2k

≤t^2N+2.

on ´ecrit

1 1 +t² −

N

X

k=0

(−1)^kt^2k

=

(−t²)^N+1 1−(−t²)

≤t^2N+2.

c. En d´eduire que pour touta≥0 on a

arctana−

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1a^2k+1

≤ a^2N+3 2N+ 3.

en utilisant b), on ´ecrit

Z a

0

1 1 +t² −

N

X

k=0

(−1)^kt^2k

! dt

≤ Z a

0

1 1 +t² −

N

X

k=0

(−1)^kt^2k

dt≤ Z a

0

t^2N+2dt= a^2N+3 2N+ 3.

d. Montrer que pour tout entierN on a :

π−2

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

1 4^k +2

3 1 9^k

≤ 1

(2N+ 3)4^N.

En utilisant a) puis c) aveca=¹₂ eta= ¹₃, on ´ecrit

π−2

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

1 4^k +2

3 1 9^k

= 4

arctan1

2 + arctan 13−

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

1 2

2k+1

−

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

1 3

2k+1

≤4

arctan1 2 −

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

1 2

^2k+1

+ 4

arctan1 3 −

N

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

1 3

^2k+1

≤ 4 2N+ 3(1

2)^2N+3+ 4 2N+ 3

1 3

2N+3

≤ 8 2N+ 3

1 2

^2N+3

= 1

(2N+ 3)4^N.