DM 17 : ´enonc´e

DM 17 : ´enonc´e

Dans tout le probl`eme, f d´esigne une application de R^∗+ dans R^∗+ que l’on suppose continue, d´ecroissante et de limite nulle en +∞.

Partie I

Pour x∈R^∗+, k ∈Net n∈N, on pose c_k(x) =f(x+k)−

Z x+k+1

x+k

f(t) dt et C_n(x) =

n

X

k=0

c_k(x),

d_k(x) = f(x+k+ 1)−

Z x+k+1

x+k

f(t) dt et D_n(x) =

n

X

k=0

d_k(x).

1^◦) a) Interpr´eter g´eom´etriquement c_k(x) et C_n(x).

b) Etablir l’in´´ egalit´e c_k(x)≤f(x+k)−f(x+k+ 1).

c) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral c_k(x) converge pour tout x > 0 et que sa somme C(x) =

+∞

X

k=0

c_k(x) v´erifie l’in´egalit´e C(x)≤f(x).

2^◦) Apr`es en avoir justifi´e l’existence, d´eterminer C(x) dans chacun des deux cas suivants :

a) f(x) =e^−x. b) f(x) = 1

x(x+ 1).

3^◦) Montrer que la s´erie de terme g´en´erald_k(x) converge pour toutx >0 et exprimer sa somme D(x) =

+∞

X

k=0

d_k(x) au moyen de C(x) et de f(x).

Partie II

On note E l’ensemble des applications de R^∗+ dans Rqui sont born´ees.

Pour tout g ∈E, on posekgk= sup

x>0

|g(x)|.

1

4^◦) Montrer que l’on d´efinit ainsi une norme sur E.

Pour toute la suite, on notera d la distance associ´ee `a cette norme.

5^◦) Soit (g_n)n∈N une suite de fonctions de (E, d) et g ∈E telle queg_n −→

n→+∞g.

a) Montrer que, pour tout x∈R^∗+, g_n(x) −→

n→+∞g(x).

b) On suppose que g est continue et que pour tout n ∈N, gn est aussi continue.

Montrer que, pour tout x, y ∈R^∗+ avecx < y, Z y

x

g_n(t) dt −→

n→+∞

Z y

x

g(t) dt.

6^◦) Pour tout n∈N^∗ et x >0, on pose g_n(x) = q

(x−1)²+_n¹ x+ 1 . Montrer que (gn)n∈N^∗ est une suite de fonctions de E.

Montrer que (g_n)n∈N^∗ converge dans (E, d) vers une applicationg que l’on d´eterminera.

7^◦) On noteC¹(E) l’ensemble des fonctions de E qui sont de classeC¹. Montrer que C¹(E) n’est pas un ferm´e de E.

Est-ce un ouvert ?

8^◦) On noteC⁰(E) l’ensemble des fonctions de E qui sont continues.

Montrer que c’est un ferm´e de E.

9^◦) Montrer que l’application C d´efinie en partie I est continue sur R^∗+ et que C(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.

10^◦) On suppose dans cette seule question que f(x)−→

x→0 +∞.

a) Montrer que, lorsquex tend vers 0, Z x+1

x

f(t)dt est n´egligeable devantf(x).

b) En d´eduire que C(x) et f(x) sont ´equivalents lorsque xtend vers 0.

11^◦) Soit (g_n)n∈N une suite de fonctions deC¹(E) telle que, pour toutn ∈N,g⁰_n∈E.

On suppose que, pour toutx∈R^∗+, il existe g(x)∈R tel que g_n(x) −→

n→+∞g(x).

On suppose de plus qu’il existe une application h ∈E telle que la suite (g⁰_n) converge dans (E, d) vers h.

Montrer que g est de classe C¹ et que g⁰ =h.

Partie III

Dans cette partie, on conserve les hypoth`eses faites sur f en d´ebut d’´enonc´e, aux- quelles on ajoute l’hypoth`ese suppl´ementaire suivante :f est de classeC¹ etf⁰ est une application croissante.

12^◦) Montrer quef⁰(x) poss`ede une limite que l’on pr´ecisera lorsquextend vers +∞.

13^◦) Montrer que la fonctionC est de classe C¹ et qu’elle est d´ecroissante (on pourra utiliser la fonction g =−f⁰).

2

14^◦) Pourx >0 etk ∈N, on poseu_k(x) = 1

2(f(x+k)+f(x+k+1))−

Z x+k+1

x+k

f(t)dt et pour k ≥1, on posev_k(x) = f(x+k)−

Z x+k+¹₂

x+k−¹₂

f(t) dt.

On admet que, f⁰ ´etant croissante, pour tout a, b∈R^∗+ aveca < b, le graphe de f|_[a,b]

est situ´e au dessous du segment de droite joignant les points de coordonn´ees (a, f(a)) et (b, f(b)).

a) Interpr´eter g´eom´etriquement u_k(x) et en d´eduire queu_k(x)≥0.

b)Montrer que pour toutx >0, la s´erieP

uk(x) est convergente et exprimer sa somme U(x) =

+∞

X

k=0

u_k(x) en fonction de C(x) et de f(x).

15^◦) Montrer que pour tout x > 0, la s´erie P

v_k(x) est convergente et montrer que sa somme V(x) =

+∞

X

k=1

v_k(x) v´erifie : V(x) =C(x)−f(x) + Z x+¹₂

x

f(t) dt.

16^◦) On admet que, f⁰ ´etant croissante, pour tout a, b∈R^∗+ aveca < b, fa+b

2

≤ 1 2

f(a) +f(b) . Montrer que pour toutx >0, 1

2f(x)≤C(x)≤f(x)− Z x+¹₂

x

f(t) dt.

17^◦) a)Montrer que, quandxtend vers +∞, les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. f⁰(x) est n´egligeable devant f(x).

2. f(x) et f(x+ 1) sont ´equivalents.

b) On suppose que f⁰(x) est n´egligeable devant f(x) lorsque x tend vers +∞.

Montrer que, lorsque x tend vers +∞,C(x)∼ ¹₂f(x).

c) Donner un exemple de fonctionf satisfaisant `a ces conditions.

18^◦) a) Soit a > 0. Lorsque f(x) = e^−ax, montrer que f v´erifie les conditions du d´ebut de l’´enonc´e et du d´ebut de cette partie.

Calculer le rapport C(x) f(x).

b)Montrer que, pour toutm ∈]¹₂,1[, il existe une fonction f satisfaisant les conditions du d´ebut de l’´enonc´e et du d´ebut de cette partie et telle que lim

x→+∞

C(x) f(x) =m.

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