DM 19 : ´enonc´e

DM 19 : ´enonc´e

K d´esigneR ou C. On fixe n0 ∈N.

Si (u_n)n≥n₀ est une suite d’´el´ements deK, on note, ∀n ≥n₀, P_n =

n

Y

k=n0

u_k.

Si la suite (P_n)n≥n0 converge, on notera

+∞

Y

k=n0

u_k sa limite et on dira que le produit

+∞

Y

k=n0

u_k existe.

Premi` ere partie :

Dans cette partieK=R.

1) On suppose que, ∀n∈N, 0< u_n <1. Montrer que le produit

+∞

Y

k=0

u_k existe.

2) Calculer

+∞

Y

n=2

1− 1

n

,

+∞

Y

n=2

1− 1

n²

et

+∞

Y

n=2

1− 2

n(n+ 1)

.

3) a) V´erifier que, ∀t∈R^∗, tht

th₂^t = 1 + 1 cht.

b) Soit x∈R avec x >1. On note (v_n)n∈N^∗ la suite d´efinie par : v₁ =xet, ∀n≥1, v_n+1 = 2v²_n−1.

Montrer qu’il existe θ ∈R^∗+ tel que v₁ = chθ.

Montrer que, pour tout n ∈N^∗, v_n= ch(2ⁿ⁻¹θ) Montrer l’existence et donner la valeur de

+∞

Y

n=1

1 + 1

v_n

, d’abord en fonction de θ, puis en fonction de x.

4) On suppose que pour toutn ∈N,|u_n|<1 et que la s´erie P

u_n converge.

a) Dans cette question, on suppose queP

u²_n converge.

1

Montrer que la s´erie X

(ln(1 +u_n)−u_n) converge.

En d´eduire que lnY^N

n=0

(1 +u_n)

converge lorsque N tend vers +∞.

Montrer que

+∞

Y

n=0

(1 +u_n) existe et qu’il appartient `a R^∗+. b) Dans cette question, on suppose que P

u²_n diverge.

Montrer que

+∞

Y

n=0

(1 +u_n) existe et qu’il vaut 0.

c) Calculer

+∞

Y

n=2

1 + (−1)ⁿ⁺¹

√n

et

+∞

Y

n=2

1 + (−1)ⁿ⁺¹ n

.

Seconde partie :

1) a) Montrer que, pour tout t∈[0,^π₂], sint≥ 2t π. b) Montrer que

Z ^π₂

0

(sint)²ⁿdt≥ π 2(2n+ 1).

c)En d´eduire que, pour toutα∈]0,^π₂[, lorsque l’entiern tend vers +∞, le quotient Z ^π₂−α

0

(sint)²ⁿdt Z ^π₂

0

(sint)²ⁿdt

tend vers 0.

Soit ϕ : [0,^π₂]−→R une application continue telle queϕ(^π₂)6= 0.

d) On admettra que la continuit´e de ϕ sur [0,^π₂] implique que ϕest born´ee.

On admettra que la continuit´e de ϕen ^π₂ est ´equivalente `a la phrase suivante :

∀ε >0, ∃α∈i 0,π

2 h

, ∀x∈hπ

2 −α,π 2 i

, |ϕ(x)−ϕ(π

2)| ≤ε.

Montrer que, lorsque l’entier n tend vers +∞, Z ^π₂

0

ϕ(t)(sint)²ⁿdt∼ϕ(π 2)

Z ^π₂

0

(sint)²ⁿdt.

2) Pour tout n∈N, on pose I_n = Z ^π₂

0

(sint)²ⁿdt.

a) Pour n≥1, montrer que In= 2n−1 2n In−1.

b) Calculer I_n en fonction den puis montrer que lorsque l’entiern tend vers +∞, I_n∼ 1

2 rπ

n. 2

3 a)Calculer la limite de la suite Z pπ

0

e^−2t dt

p∈N

. b) Soit n ∈N. Montrer que la suite Z pπ

0

e^−2t(sint)²ⁿ dt

p∈N

est convergente.

On notera u_n la limite de cette suite.

c) Soit n ∈N.

Pour tout k ∈N, montrer que

Z (k+1)π

kπ

e^−2t(sint)²ⁿdt = e^−2kπ Z ^π₂

0

ϕ(t)(sint)²ⁿdt, o`u ϕ est une application ind´ependante de n que l’on pr´ecisera.

d) En d´eduire que lorsque l’entiern tend vers +∞, u_n∼ 1

2shπ rπ

n.

4 a)Pour tout n ≥1, montrer que u_n=n lim

p→+∞

Z pπ

0

e^−2t(cost)(sint)²ⁿ⁻¹dt.

b) En d´eduire que pour toutn ≥1,n(2n−1)u_n−1 = 2(1 +n²)u_n. c) Montrer que u_n= (n!)²I_n

π

n

Y

k=1

(1 +k²) .

d) En d´eduire que

+∞

Y

k=1

1 + 1

k²

existe et que

+∞

Y

k=1

1 + 1

k²

= shπ π .

Troisi` eme partie :

Dans cette partieK=C. 1) Montrer que

+∞

Y

n=1

1 + i

n

existe et donner sa valeur.

2) Soit n∈N^∗. On consid`ere n nombres complexes z₁, . . . , z_n. Montrer par r´ecurrence que

−1 +

n

Y

k=1

(1 +z_k)

≤ −1 +

n

Y

k=1

(1 +|z_k|) : on commencera par l’´etablir pour n= 1 et n = 2.

3)Lorsque (z_n)n∈N est une suite de complexes, on dit que c’est une suite de Cauchy si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e suivante :

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n ≥N ∀q ∈N |z_n+q−z_n| ≤ε.

3

On admettra qu’une suite de complexes est convergente si et seulement si c’est une suite de Cauchy.

Soit (u_n)n∈N une suite de complexes telle que, pour tout n ∈ N, |u_n|< 1, et telle que la s´erie P

u_n est absolument convergente.

Montrer que

+∞

Y

n=0

(1 +u_n) existe.

4)Soit (u_n)_n∈Nune suite de complexes telle que, pour toutn ∈N,|u_n|= 1 etu_n 6=−1.

On pose, pour tout n ∈N,u_n =e^iθn, avec θ_n∈]−π, π[.

Montrer que

+∞

Y

n=0

un existe si et seulement si la s´erie X

θn converge.

5) Le produit

+∞

Y

n=1

1 + i

n

existe-t-il ?

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