D310 - L’iceberg - Enonc´e
Un iceberg a la forme d’un poly`edre convexe flottant sur la mer. Se peut-il qu’au moins 90% du volume de l’iceberg se trouve en dessous du niveau de l’eau et qu’au moins 50% de sa surface soit au dessus ?
Source : MathBattle 4 Saison 2002-2003 Probl`eme 6
D310 - L’iceberg - Corrig´e
On pense imm´ediatement `a un solide qui a une forme ”pointue”... Prenons une pyramide r´eguli`ere renvers´ee
`
a base carr´ee dont le cˆot´e vaut 1 et dont la hauteur des triangles lat´eraux vautl. La surface de l’eau suppos´ee plane ´etablit donc une section de la pyramide et le coefficient de r´eductionkde la pyramide doit donc ˆetre tel que p3
0,9≤k <1. Fixonskdans cet intervalle (exemple :k= 0,98)
La surface de la pyramide de d´epart a pour aire 1+2l. La surface en dehors de l’eau a pour aire 1+2l−2l×k2. On veut 1 + 2l−2lk2≥0,5×(1 + 2l) c’est `a direl(1−2k2)≥ −0,5. Commek∈h
p3
0,9; 1h
, on a 1−2k2<0 donc 0,5< l≤ 0,5
2k2−1 (pour notre exemple, cela fait donc une valeur del qui doit ˆetre comprise entre 0,5 et 0,543 (environ)).
Conclusion : Cet iceberg existe. Il a la forme d’une pyramide renvers´ee r´eguli`ere `a base carr´ee de cˆot´e 1. Quand on a fix´e le coefficientk dans h
p3
0,9; 1h
, on peut fixer la hauteur l des triangles lat´eraux de la pyramide (et ainsi la hauteur de la pyramide) dans l’intervalle 0,5< l≤ 0,5
2k2−1.
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