b) Expression 3p+ 2p Si p= 2, l’expression vaut 12, ni carr´e ni cube

Enonc´e n^oA548 (Diophante) Chass´es-crois´es dans un quadrille

On consid`ere les quatre expressions p³+p², 3^p+ 2^p, 3^p+p², 2^p+p³ avec p nombre premier.

Lesquelles de ces expressions peuvent donner un carr´e parfait ? un cube parfait ?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin a) Expression p³+p²

a1) p³+p² =q²

p divise q = pr, p = r² −1 = (r+ 1)(r−1) ne peut ˆetre premier que si r−1 = 1,p= 3, la racine du carr´e estq = 6.

a2) p³+p² =q³

Impossible car p³ < p³+p²<(p+ 1)³. b) Expression 3^p+ 2^p

Si p= 2, l’expression vaut 12, ni carr´e ni cube.

Supposons donc p impair, alors modulo 5

3^p+ 2^p = (−2)^p+ 2^p = 0 : l’expression est divisible par 5.

Pour qu’elle soit carr´e ou cube, elle doit ˆetre multiple de 5² ou 5³ respec- tivement.

Or (5−2)^p+ 2^p = 5p·2^p−1−5²p(p−1)2^p−3+ 5³

p

X

k=3

C_p^k5^k−3(−2)^p−k. Il faut p = 5 pour que l’expression soit multiple de 5², et alors elle vaut 275 qui n’est ni carr´e ni cube.

c) Expression 3^p+p² c1) 3^p+p² =q²

3^p = (q+p)(q−p). Siq−p >1, c’est un multiple de 3 ainsi que q+p, 3 divisep, alorsp= 3 etq= 6 comme en a1).

Si q−p = 1, il faut satisfaire 3^p −2p−1 = 0, mais la fonction f(k) = 3^k−2k−1 est strictement croissante `a partir de f(1) = 0, et f(p) > 0 pour toutp.

c2) 3^p+p² =q³

Sip= 2, l’expression vaut 13, ni carr´e ni cube.

Sip est impair, l’expression a pour reste 4 modulo 8 ; alorsq devrait ˆetre pair, mais le reste deq³ modulo 8 est 0.

d) Expression 2^p+p³

Sip= 2, l’expression vaut 12, ni carr´e ni cube.

d1) 2^p+p³ =q² avec pimpair = 2k+ 1.

p³ =q²−2z² avec z= 2^k.

pdivise la formeX²−2Y², il est donc de cette forme :p=a²−2b² et on peut identifier terme `a terme q²−2z² avec

(a(a²+ 6b²))²−2(b(3a²+ 2b²))².

Commeaest impair, 3a²+ 2b² est impair>1 etz=b⁽3a²+ 2b²) ne peut ˆetre puissance de 2.

d2) 2^p+p³ =q³ avec pimpair.

qest impair comme p, (q+p)/2 =set (q−p)/2 =dsont entiers de parit´e contraire.

q³−p³ = 8d(3s² +d²) ne peut ˆetre une puissance de 2 puisque 3s²+d² est impair>1.

En conclusion, aucun cube parfait ne peut ˆetre obtenu avec ces expres- sions ; le seul carr´e est

6²= 36 =p³+p² = 3^p+p² pourp= 3.

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