A1737. Fidèles au rendez-vous
Q1 Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme s1 < 2021 et de plus petit commun multiple p₁ tels que s1 et p1 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s1 = p1 ?
Q2 Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de somme s₂ et de plus petit commun multiple p2 tels que s2 et p2 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s2 = p2 ?
Solution proposée par Gaston Parrour
Préliminaires et notations
Un ensemble d'entiers naturels {ni} a pour PPCM P <=> chaque ni divise P
Si l'ensemble {ni} (avec S = Σ ni) est celui de tous les diviseurs de P, - excepté P lui-même -, - l'égalité P = S ==> P est un nombre parfait
- alors P est donné par P = 2p-1(2p-1)
où p est un nombre premier et (2p-1) est un nombre de Mersenne premier (En admettant que les seuls nombres parfaits sont des nombres pairs)
- notons que le nombre total de diviseurs de ces nombres parfaits est Ndiv = 2 p (pair)
Q1 Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme S < 2021, de plus petit commun multiple P tels S = P ? → La réponse est OUI.
Ci-dessous il est montré comment créer un tel ensemble (au moins).
En conclusion de cette question Q1 cet ensemble est explicité.
→ Ici P ne peut être un nombre parfait. Avec ce qui précède on aurait Ndiv = 30 + 1 ceci est différent de ''2p''
Avec la décomposition en nombres premiers de P P = Π piai , on a - nombre total de diviseurs de P Ndiv (P) = Π (ai+1)
- somme totale des diviseurs S' = Π (piai+1 -1) / (pi-1)
L'égalité S = P ne peut être réalisée que si certains diviseurs nj de P (au nombre de Ns) sont supprimés, cela de façon à vérifier
S = S' – Σ nj = P (Ns indice j sont impliqués) (1) D'où ICI les contraintes suivantes → Ndiv – Ns = 30 et S = P < 2021 (COND ) → Choix possibles pour P avec ces contraintes.
Puisque P n'est pas parfait, pour satisfaire (COND) → Ndiv (P) > 31 Les contraintes ci-dessus suggèrent de choisir Ndiv le plus petit possible
On considère alors pour P les cas suivants (le nombre de facteurs premiers augmente progressivement) ( p1 < p2 < p3 … et les exposants correspondants a1 ≥ a2 ≥ a3 ...)
P = p1a1
avec cela a1 = 31 car Ndiv minimum = 32
mais dès le plus petit P , P = 231 → P > 2021 P= p1a1 p2 a2
Ndiv(P) = (a1+1)(a2+1) ≥ 32 et au minimum (a1+1)(a2+1) = 32
Le plus petit P correspond alors à la décomposition suivante de 32 en deux facteurs : a1+1 = 8 a2+1 = 4 ; et, avec p1 = 2 et p2 = 3 , P = 27 33 → P > 2021 P = p1a1 p2 p3a2 a3
Ndiv(P) = (a1+1)(a2+1)(a3+1) ≥ 32 Le minimum, Ndiv = 32 autorise une décomposition en 3 facteurs deux décompositions sont possibles pour préciser a1 a2 et a3 :
a1 = 7 a2 = 1 a3 = 1 qui conduit à un Pmin = 27 3 5= 1920 P < 2021 a priori acceptable a1 = 3 a2 = 3 a3 = 1 '' P'min = 23 33 5 = 1080 P' < 2021 '' ''
Puisque Ndiv = 32 Ns = 2 (voir (COND)) (pour ces 2 possibilités P et P') cas P = 27 3 5 = 1920 S' = (28 -1) 4.6 = 6120
alors (1) ci-dessus → (S' – P) doit être la somme de 2 diviseurs de P
(S' – P) = 4208 OR (ici) Σ de 2 diviseurs de P ≤ P + P/2 = 2880 → (1) non satisfaite cas P' = 23 3 53 = 1080 de façon strictement identique avec (S'-P) = 2520 → (1) non satisfaite P = p1a1 p2 p3a2 a3 p4 a4
Ndiv(P) = (a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1) ≥ 32
Avec Ndiv = 32 (a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1) = 32 se décompose en 4 facteurs 4.2.2.2 et Pmin = 233 5 7 → P = 840 < 2021 , acceptable a priori S' = (24-1) 4.6.8 = 2880 et Ns = 2
(S'-P) = 2040 OR (ici) Σ de 2 diviseurs de P ≤ P + P/2 = 840 + 420 = 1260 → (1) non satisfaite
Avec Ndiv > 32 et associé à 4 facteurs Alors → Ndiv(P) = 36 , 40 , ...
Par exemple avec Ndiv = 40 (a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1) = 40 a1+1 = 5 et ai + 1 = 2 pour i = 2,3 et 4
alors on peut considérer un Pmin donné par P = 243.5.7 = 1680 auquel correspond S' = (25-1) 4.6.8 = 5952
(S'-P) = 4272 et ici → Ns = 10 D'autre part,
Σ de 10diviseurs de P ≤ P (1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/10+1/12) = P(1+1597/840) = 4874 → Il est donc envisageable de réaliser l'égalité (1) avec 10 des diviseurs de P
==> En écrivant par ordre décroissant les diviseurs de P, avec 10 d'entre eux (membre de droite ci-dessous), on obtient :
4272 = P( 1+1/2+1/4+1/5+1/6+1/7+1/10+1/12+1/14+1/35) Conclusion de Q1
En ôtant ces 10 diviseurs à l'ensemble des diviseurs de P , les conditions (COND) sont satisfaites.
==> Un ensemble {ni} de 30 nombres entiers positifs distincts dont le PPCM P est égal à leur somme S existe Il est ici constitué par l'ensemble des diviseurs de P= 1680 duquel on a retiré 10 d'entre eux
{ni} = (1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 15 16 20 21 24 28 30 35 40 42 56 60 70 80 84 105 112 210 560 ) N.B. D'autres solutions existent certainement ...
Q2 Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de somme S et de plus petit commun multiple P tels S = P ? → La réponse est OUI.
Ci-dessous il est montré comment en définir une famille (au moins)
N.B. Il n'y a plus de contrainte sur la somme S de ces entiers (cf. COND dans Q1)
L'approche utilisée en Q1 ne peut convenir qu'à ''petite'' échelle (quelques dizaines de termes au plus) Les notations précédentes (du préambule et de Q1) sont conservées.
→ P ne peut être un nombre parfait
Ici on aurait alors Ndiv = 2021 + 1 = 2p → ''p'' = 2011 qui n'est pas un nombre premier Cependant, on peut envisager :
→ P sous la forme P = 2x-1 ( 2 p – 1)
où (2p – 1) est un nombre de Mersenne premier noté Mp (C.N. p doit être premier) Avec cela :
Ndiv(P) = 2x et S' = (2x – 1) (Mp+1) (somme de tous les diviseurs de P) S' – P = 2x-1 Mp + 2x – (Mp+1) = P + 2x – 2p = P + (2x – 1) - (2p – 1) Supposons x > p (voir * ci-après) alors
S' – P = P + 2p + 2p+1 + … + 2x-1
Il y a à droite Ns = 1 + (x – p) termes qui sont tous des diviseurs distincts de P
S'il y a 2021 termes dans S = S' – Ns,
2021 = 2x – [1+(x – p)] = x + p – 1 → x + p = 2022 * Alors, on peut avoir x > p :
En effet, cela entraine → 2022 > 2p p < 1011
==> tout nombre premier p inférieur à 1011 et associé à un nombre de Mersenne premier convient N.B. La liste de ces nombres premiers actuelle montre qu'il y en a 14 jusqu'à M607 (associé à p =607) Conclusion de Q2
Donc avec un PPCM P de la forme P = 2x-1 Mp où Mp est premier de Mersenne et x = (2022 – p) : à la question posée :''P = S avec 2021 entiers positifs distincts ?'', la réponse affirmative est complétée par → Il y a 14 solutions lorsqu'on choisit P = 2(2021 – p) Mp
et S est alors la somme de 2021 des diviseurs de P
[S résulte de la somme S' de tous les diviseurs de P de laquelle sont retirés, le diviseur P et les (x – p) = 2022 - 2p termes suivants 2p , 2p+1 , … , 22021-p , - tous diviseurs de P ]
N.B. Ce résultat montre seulement que 14 solutions comme cela existent, il y en a certainement d'autres !
