DM 2. Enonc´e

DM 2. Enonc´e

Exercice 1 :

R´esoudre l’´equation dans C suivante : z = 2z+j, o`uj =e^2iπ3. Exercice 2 :

Soit (a, b)∈C². Montrer que |a+b|² ≤(1 +|a|²)(1 +|b|²).

Quand a-t-on ´egalit´e ? Exercice 3 :

1^◦) Soit n∈N^∗. Soientx₁, . . . , x_n+1 des r´eels de l’intervalle [0,1]. Montrer qu’il existe i, j ∈N^∗ tel que 1≤i < j ≤n+ 1 et |x_i−x_j| ≤ _n¹.

2^◦) Soit x∈R\Q avec x >0.

Montrer que, pour toutN ∈N^∗, il existeq ∈N^∗etp∈Ntels queq ≥N et|x−^p_q| ≤ _q¹2. 3^◦) On admettra que √

2 est irrationnel.

Montrer qu’il existe c >0 tel que, pour tout q ∈N^∗ etp∈N, |√ 2− p

q| ≥ c q². Exercice 4 :

Soitf une application deRdansRtelle que, pour toutx, y ∈R,f(x+f(y)) =f(x)+y⁵. f est-elle injective ? f est-elle surjective ?

Exercice 5 :

D´eterminer toutes les fonctions f : R−→R telles que

∀x, y ∈R, f(x−f(y)) = 2−x−y.

Exercice 6 :

Montrer que, pour tout n ∈N, pour tout x∈R, |sin(nx)| ≤n|sinx|.

Exercice 7 :

R´esoudre l’´equation cosx+ cos 2x−3 cos 3x=−1.

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Exercice 8 :

1^◦) Montrer que, pour tout x∈Ret n∈N,

cos((n+ 1)x) = 2 cos(nx) cos(x)−cos((n−1)x).

2^◦) En d´eduire que, pour tout n ∈N, il existe un unique polynˆome T_n tel que, pour tout θ ∈R, 2 cos(nθ) =T_n(2 cosθ).

3^◦) SoitP un polynˆome deRdansRde la formex7−→x^k+a_k−1x^k−1+· · ·+a₁x+a₀, o`uk ∈N^∗ eta₀, . . . , ak−1 ∈Z.

Soit a une racine rationnelle de P. En ´ecrivant a sous la forme a = ^p_q avec p ∈ Z, q∈N^∗, et pet q premiers entre eux, montrer que a∈Z.

4^◦) En d´eduire le th´eor`eme de Niven : Soitθ ∈[0,^π₂] tel que _π^θ ∈Q. Montrer que si cosθ ∈Q, alors cosθ ∈ {0,¹₂,1}.

Exercice 9 :

1^◦) Exprimer tan(a+b) en fonction de tanaet tanb, lorsque toutes ces quantit´es sont d´efinies.

2^◦) Exprimer tan(a+b +c) en fonction de tana, tanb et tanc, lorsque toutes ces quantit´es sont d´efinies.

3^◦) Calculer arctan2 + arctan3 + arctan(2 +√ 3).

4^◦) Conjecturer puis d´emontrer une expression de tan(a1 +· · ·+an) en fonction de tana₁, . . . ,tana_n.

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