DM 2

DM n

2

Exercice

On note M3(R) l’espace vectoriel r´eel des matrices carr´ees d’ordre trois `a ´el´ements r´eels, I₃ la matrice identit´e de M₃(R) et 0₃la matrice nulle deM₃(R).

On consid`ere, pour toute matriceAdeM₃(R), les ensemblesE₁(A) etE₂(A) suivants : E1(A) = {M ∈ M3(R) ;A M =M}

E2(A) =

M ∈ M3(R) ;A²M =AM 1. Montrer queE₁(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).

On admettra queE2(A) est aussi un sous-espace vectoriel deM3(R).

2. (a) ´Etablir : E1(A)⊂E2(A).

(b) Montrer que, siAest inversible, alorsE1(A) =E2(A).

3. ´Etablir que, siA−I₃ est inversible, alorsE₁(A) ={0₃}.

4. (a) SoitB=





−1 1 0 0 −1 1

0 0 2



.D´eterminerE₁(B) et E₂(B).

(b) SoitD une matrice diagonale deM₃(R). D´eterminer unDtel que E₁(D)6=E₂(D).

1

Exercice facultatif

Pour toutk∈N, on consid`ere la fonction f_k d´efinie surR+par la relation : fk(x) =

Z 1 0

t^ke^−txdt.

1. (a) Montrer que pour tout entier naturelk, la fonctionf_k est d´ecroissante surR+

(b) Etudier la suite (f_k(0))_k≥0 de nombres r´eels. En d´eduire, pour tout nombre r´eel positifx fix´e la limite de la suite (f_k(x))_k≥0.

2. (a) Soitx >0. Pour toutk∈N, ´etablir que

fk+1(x) = k+ 1

x fk(x)−e^−x x . (b) Expliciter les fonctionsf0, f1 etf2.

(c) Montrer que

x f0(x) −→

x→+∞1.

(d) A l’aide de la relation ´etablie auc), montrer que pour tout k∈N x^k+1

k! fk(x) −→

x→+∞1.

3. (a) En effectuant un changement de variable, montrer que pour toutk∈Net tout r´eel xstrictement positif : f_k(x) = 1

x^k+1 Z x

0

u^ke^−udu.

En d´eduire quefk est d´erivable sur ]0,+∞[ et calculer sa d´eriv´ee.

(b) Trouver une relation simple entref_k⁰ etfk+1. (c) Montrer que pour tout r´eely positif ou nul :

1−e^−y≤y.

En d´eduire que pour tout entier naturelk,la fonction fk est continue en 0.

Est-elle d´erivable `a droite en ce point ?

2