DM 2 Ondes dans une piscine
à rendre le jeudi 24 septembre
AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?
• Commencer à chercher le devoirdès le soir de la distribution.
• S’aider ducourset desexercices.
• Chercher en groupe. La rédaction sera cependant personnelle.
• Si vous êtes bloqué,posez des questions.
• Un soin particulier sera accordé à la rédaction. Les réponses devront contenir : - desschémas;
- desphrasespour expliquer votre raisonnement ;
- desexpressions littérales homogènes et encadrées, avec les grandeurs littérales de l’énoncé ou introduite par vous ;
- desapplications numériques soulignées, cohérentes, avec des unités.
• Après avoir reçu la correction, reprendre votre copie et le corrigé pour comprendre les erreurs, lire les conseils...
1 Production des vagues par une plaque oscillante
Une première technique consiste à produire des ondes progressives à une extrémité de la piscine par déplacement horizontal d’un panneau métallique. La superposition de cette onde avec l’onde réfléchie sur l’autre mur de la piscine produit une onde stationnaire.
Les oscillations à la pulsationωde la plaque métallique permettent de produire une variation harmonique de la hauteur d’eau à l’extrémité gauche de la piscine, enx= −L.
On noteh(x = −L,t)=Hmcos(ωt) la différence de hauteur en x = −Len présence de l’onde par rapport à la situation où l’eau est au repos.
La hauteur d’eau totale vaut doncH=H0+h. On a évidemmentHm<H0.
La plaque génère à la surface de la piscine une onde incidente de la formehi(x,t)=Acos(ωt±kx+ϕ).
1 Quel signe faut-il considérer devant le terme enkx?
2 Donner la relation entre la période temporelle et la longueur d’onde.
3 ExprimerAetϕen fonction deHm,ketLen justifiant. Conclure sur l’expression mathématique dehi(x,t).
4 Représenter sur une même figure l’allure de la hauteur d’eauH0+hidue à l’onde incidente à l’instant initial t=0, au bout d’un quart de périodet=T4 et au bout d’une demi périodet=T2. Vous veillerez à ce que les trois courbes soient identifiables sans ambiguïté.
La réflexion de l’onde incidente sur le mur de la piscine situé enx=0 donne naissance à une ondehr(x,t) de même amplitude que l’onde incidente.
On observe un ventre de vibration au niveau du mur, signe que l’onde incidente et l’onde réfléchie y inter- fèrent constructivement.
MPSI Devoir maison 2 - Ondes dans une piscine 2020-2021
5 En déduire l’expressionhr(x,t) modélisant l’onde réfléchie.
6 À quel type d’onde la présence des deux ondeshi(x,t) ethr(x,t) donne-t-elle naissance ?
7 Déterminer l’expression de l’onde résultanteh(x,t) =hi(x,t) +hr(x,t) et l’écrire sous la formeh(x,t)= 2Hmu(x)v(t) oùuetvsont des fonctions à préciser.
8 Deux ventres de vibration sont observés enx=0 etx= −Let il y a trois nœuds à la surface de la piscine.
Déterminerλen fonction deL.
9 Représenter sur une même figure la hauteur d’eauH0+h(x,t) à l’instant initialt =0, au bout d’un quart de périodet = T4 et au bout d’une demi-périodet = T2. Vous veillerez à ce que les trois courbes soient identifiables sans ambiguïté.
10 Représenter sur une même figure la hauteur d’eauH0+h(x,t) enx=0, enx= −L4 et enx= −L2 ce que les trois courbes soient identifiables sans ambiguïté.
2 Utilisation d’injecteurs
Une seconde technique de génération des vagues consiste à utiliser des injecteurs convenablement placés et syn- chronisés. Un injecteur est un dispositif qui propulse puis aspire en alternance de l’eau verticalement. Ils sont placés au fond de la piscine, sous les ventres de vibration, voir figure ci-dessous. Leur fréquencef est synchro- nisée avec celle correspondant à un mode de vibration de l’onde stationnaire.
11 Dans le mode représenté sur la figure, deux injecteurs sont utilisés. À quelle distance du bord de la piscine doivent-ils être placés ?
12 Pour le mode représenté, déterminer f en fonction deL et de la céléritéc des vagues à la surface de la piscine.
13 Les jets doivent-ils être émis au même moment par les deux injecteurs ? Si non, quel doit être le décalage temporel∆t?
14 Combien d’injecteurs faudrait-il, où devrait-on les placer, à quelle fréquence et comment devrait-on les synchroniser pour obtenir le mode de vibration correspondant à un nœud de plus dans la même piscine ?
2/2 September 14, 2020
