DM 2

(1)

DM 2 Quelques circuits linéaires ; étude d’un TGV

Corrigé

1 Quelques circuits linéaires

Circuit 1 : Effectuons quelques transformations du circuit avant d’utiliser loi du diviseur de courant

E r

3r

r 2r

r

i ^E

r

r 3r 3r r

⇔

i ^E

r

3

5r r

⇔

i

D’après la loi du diviseur de courant

i=

3 5r

3 5r+r

E r = 3

8 E r

Circuit 2 : Deux petits coups de transformation Thévenin-Norton puis un diviseur de tension conduisent au ré- sultat

E r

3r

2r r

u

E r

r 3r 2r

r

u

⇔

3 4E

3 4r

2r r

u

⇔

3

4E 2r

7 4r

u

⇔

D’après la loi du diviseur de tension

u= 2r 2r+⁷₄r

3 4E= 2

5E

Circuit 3 : Une association de résistance puis un théorème de Millmann donne le résultat

E

2E

3E

R R/3

R/2

R/8

12R 24R

u?

E 2E 3E

R R/3

65R 8

R/2

⇔ u?

D’après le théorème de Millmann

u =

E

R+_R/2^2E +0+_R/3^3E

1

R+_R²+_65R⁸ +_R³

= 455 199E

(2)

MPSI Devoir maison 2 - Électrocinétique 2020-2021

2 Quelques aspects du fonctionnement électrique des TGV

2.1 Un rail mesure environ 5 cm de large et 10 cm de haut. Sa section vaut donc environ s_rail=50 cm²

2.2 Comparons la résistance d’un rail, donnée parRrail= `

s_rail×σ et celle d’une caténaire, de même longueur`, donnée parR=_s_×σ^` .

Or, la section de la caténaire vauts=1, 87 cm²≈^s₄₀^rail.

Ainsi,la résistance d’une caténaire est environ 40 fois plus élevée que celle des rails, donc nous pourrons négliger la résistance des rails dans la suite.

2.3 Entre deux sous-stations, la distance est de`=60 km, ainsi la résistance totale de la caténaire entre deux sous-stations vaut

R= `

s×σ =7, 0Ω

# C’est peu par rapport à un résistor, mais grand devant les fils de connexion utilisé au labo.

2.4 En amont de la locomotive, la caténaire est de longueurx, ainsi R1= x

s×σ avec, d’après la question précédent,R=_s×σ^` . On en déduit :

R1=x

`R

2.5 En aval de la locomotive, la caténaire est de longueur`−x, ainsi R2=`−x

s×σ avec, d’après la question précédent,R=_s_×σ^` . On en déduit :

R₂=³ 1−x

`

´R

2.6 D’après la loi des noeuds en terme de potentiels E−V

R1 +E−V

R2 −I0=0⇔ V=E−I0

R1R2

R1+R2

D’après la loi d’Ohm

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I₁=E−V

R1 = I₀ R₁ R1+R2

et

I2=E−V R₂ = I0

R2

R₁+R₂ On remplaceR₁etR₂par leurs expressions établies 2.4et 2.5.

I1=³ 1−x

`

´

I0 et I2=x

`I0 et V =E−R I0×x

`×³ 1−x

`

´

2.7 Par définition de la puissance consommée (convention récepteur) par la locomotive Pc=ˆV×I0=E I0−R I₀²×x

`×³ 1−x

`

´

2.8 Par définition de lapuissance dissipée par effet Jouledans la caténaire PJ=R1I₁²+R2I₂²=R I₀²×x

`×³ 1−x

`

´

2.9 Par définition de la puissance fournie par les deux stations Pf =E I₁+E I₂=E I₀

2.10 En reprenant l’expression établie au 2.7, on retrouve le résultat bien connu de laconservation de la puis- sance

Pc=Vˆ ×I0=E I0

|{z}Pf

−R I₀²×x

`×³ 1−x

`

´

| {z }

PJ

2.11 Le TGV roule à vitessev₀constante et passe ent=0 par la station enx=0. Donc x(t)=v0t

On remplacexpar ce résultat dans l’expression de la puissance dissipée par effet Joule PJ(t)=R I₀²v0t(`−v0t)

`²

2.12 La locomotive atteint la fin du tronçon considéré à l’instantt_f tel que`=v0t_f, soit t_f= `

v0 =3, 8 · 10²s

2.13 L’énergie totaleEJ,t0→tf dissipée par effet Joule pendant le passage du train sur ce tronçon est l’intégrale de PJcalculée entret0ettf

EJ,t0→tf =wtf

t₀ PJ(t)dt = wtf

t₀ R I₀²v₀t(`−v₀t)

`² dt

= R I₀²

`²

·

`v₀t² 2 −v₀²t³

3

¸^tf

t₀

= R I₀²

`² Ã

`v₀ t²_f

2 −v₀² t³_f

3

!

3/4 October 1, 2020

(4)

En remplaçantt_f par son expressiont_f =_v^`₀

EJ,t₀→t_f =R I₀²`

6v₀ =2, 8 · 10⁸J

# une énergie importante certes, mais il s’agit d’alimenter sous 800 un TGV d’une centaine de tonnes, lancé à plus de 500 km.h⁻¹. Énergie à comparer donc au 10¹¹J d’énergie cinétique.

2.14 L’énergie totale fournie par les deux sous-stations s’écrit Ec,t0→tf =

wtf

t0

E I0dt=E I0tf

car la puissancePJ=E I0est constante.

Ainsi

Ec,t₀→t_f =E I₀`

v0 =9, 4 · 10⁹J

# là encore, grande énergie, bien supérieure aux pertes par effet Joule (ouf ), mais très inférieur à l’énergie cinétique de la rame. Cette énergie sert à compenser les pertes par frottements entre les deux stations.

2.15 D’après le principe de conservation de l’énergie, l’énergie consommée par les moteur vaut Ec,t0→tf =Ef,t0→tf −EJ,t0→tf =¡

E I₀−R I₀²¢ `

v0 =9, 1 · 10⁹J

# cf. commentaires précédent. Cette énergie est celle dissipée par frottements.

2.16 Par définition du rendement

η=Ec,t0→tf

Ef,t0→tf

=1−R I₀

6E =97%

# Un rendement plutôt bon. On remarque que plus on écarte les stations, plusR augmente et moins le rendement est bon.

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