DM 4

DM n

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Exercice

On d´esigne parnun entier naturel non nul, et l’on se propose d’´etudier les racines de l’´equation (En) : ln(x) +x=n.

A cet effet, on introduit la fonction` f de la variable r´eelle xd´efinie sur R^∗+ par : f(x) = ln(x) +x.

I. Existence des racines de (E

)

1. Etudier les variations de la fonctionf.Montrer quef est une bijection deR^∗+ surR.

2. En d´eduire que, pourn∈N^∗, (En) admet une unique racinexn et que la suite (xn)_n∈Nest strictement croissante.

II. Etude de la convergence de (x

)

1. Montrer que :

∀x∈R^∗+, lnx < x.

2. Prouver que l’on a :

∀n∈N^∗, n

2 6x_n6n 3. Quelle est la limite dexn quand ntend vers +∞?

III. Comportement asymptotique de (x

)

1. Montrer que ln(xn)

n tend vers 0 quandntend vers +∞.En d´eduire que : x_n ∼

n→+∞n.

2. Calculer la limite dexn+1−xn quandntend vers +∞.

3. On pose :

∀n∈N^∗, u_n =n−x_n lnn . (a) Montrer que :

∀n∈N^∗, un−1 = lnxn

n

lnn . (b) Quelle est la limite deu_n quandntend vers +∞?

(c) Prouver alors que :

1−un ∼

n→+∞

1 n

4. En d´eduire qu’il existe une suite εn ayant une limite nulle lorsque n tend vers +∞ telle que, pour tout entier sup´erieur ou ´egal `a 2, on ait :

xn =n−lnn+lnn n +lnn

n εn

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Exercice facultatif

Toutes les matrices de cet exercice sont des ´el´ements de l’ensembleM₂(R) des matrices carr´ees d’ordre 2 `a. coefficients r´eels. On note I la matrice identit´e deM<sub>2</sub>(R). On rappelle qu’un ´el´ementA deM<sub>2</sub>(R) est colin´eaire `a I s’il existe un r´eelλtel que A=λI.

On d´efinit les deux applications suivantes deM2(R) dansR, not´eesdett, par : pour tout ´el´ementA= (ai,j)_1≤i,j≤2 deM2(R)

d(A) =a1,1a2,2−a1,2a2,1 et t(A) =a1,1+a2,2. 1. SoitAetB deux ´el´ements de M2(R).

(a) Calculerd(2I). En d´eduire que l’applicationdn’est pas lin´eaire.

(b) ´Etablir la formule :

d(AB) =d(A)×d(B).

(c) En d´eduire que siAet B sont semblables, on a :

d(A) =d(B).

2. (a) Montrer que t est une application lin´eaire de M₂(R) dans R. D´eterminer la dimension de son image et celle de son noyau.

(b) ´Etablir que siAet B sont deux ´el´ements deM₂(R) on a : t(AB) =t(BA).

(c) En d´eduire que siAet B sont semblables, on a :

t(A) =t(B).

3. SoitAun ´el´ement donn´e deM2(R) non colin´eaire `aI.

(a) ´Etablir l’existence d’un unique couple (α, β) de r´eels v´erifiant : A²=αA+βI.

(b) Exprimerαet β en fonction ded(A) et t(A).

4. SoitAun ´el´ement donn´e deM2(R) non colin´eaire `a I. On noteul’endomorphisme deR² dont Aest la matrice associ´ee dans la base canonique (e1, e2) deR²On pose :w=e1+e2.

Soity un ´el´ement non nul deR², on dit quey est unvecteur propre deus’il existe un r´eelλtel que u(y) =λ y.

(a) Montrer que les trois vecteurse1, e2et wne peuvent ˆetre simultan´ement vecteurs propres deu.

(b) En d´eduire qu’il existe au moins un ´el´ement non nulxdeR² tel que la famille (x, u(x)) soit une base deR² (c) Montrer que la matriceM associ´ee `a udans la base (x, u(x)) est de la forme

0 a

1 b

o`u aet b sont deux r´eels, ind´ependants de la base (x, u(x)), que l’on exprimera en fonction ded(A) ett(A).

(d) En d´eduire que la matrice Aest semblable `a sa transpos´ee^tA 5. SoitAun ´el´ement donn´e deM2(R) et C(A) l’ensemble d´efini par

C(A) ={B∈ M2(R)|AB=BA}.

(a) Montrer queC(A) est un sous-espace vectoriel deM2(R)

(b) D´eterminer une base et la dimension deC(A) (on discutera selon queAest ou n’est pas colin´eaire `aI).

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