Série d’exercices 4 non corrigés « dérivabilité et étude de fonction »

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896

Série d’exercices 4 non corrigés « dérivabilité et étude de fonction »

Exercice n° 1

On considère la fonction f définie par : ^{f x}

 

^ ^x²^{ }^{1 1}

1. Montrer que l'ensemble de définition de la fonction est D_f IR 2. Etudier la parité de la fonction f

3. Calculer ^lim

 

x f x

 et déduire ^lim

 

x f x

 .

4. a)Montrer que la droite équation yx1 est asymptote oblique à la courbe C représentative de la fonction f.

b)En utilisant la question 2, déterminer une autre asymptote oblique à C . 5. Etudier les variations de la fonction f sur D_f.

6. Dresser le tableau de variations de f sur D_f

7. Déterminer l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 1 8. Résoudre l'équation ^{f x}

 

^⁰

Exercice n° 2

f est la fonction définie sur IR par :

 

₂ ¹ ¹

1 f x x

x

  

 .

et

 

^C^f sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}^{ }



(unité graphique: 2 cm) 1) a) Calculer ^lim

 

x f x

 et^lim

 

x f x

 .

b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

2) a) Trouver une équation de la tangente T à

 

Cf au point d'abscisse 0.

b) Etudier la position relative de

 

Cf et de T.

3) Tracer T et la courbe

 

^C^f ^.

Exercice n° 3 Parie A

Soit f la fornction dernie sur ^IR^{ }

 

² ^{par :}

 

1 2

2 f x x

x

 

 .

1- Pour tout x réel different de2 , trouver trois réels a, b et c tels que :

 

2 f x ax b c

   x

 2- Etudier les variations de f et tracer sa courbe representative

 

C dans un repère orthonormé 3. Montrer que si

 

C admet un centre de symetric, alors on peut determiner son abscisse Démontrer que

 

C admet un centre de symetrie.

Parie B

Soit  la fonction definie sur IR par :

 

1 sin2

2 sin t t

  ^ t

 .

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 1- Pour tout réel t, montrer que ^{ }



^^t



^^

 

^t (expliquer comment l'etude des variations de sur

2 2;

  

 

  permet de construire la courbe representative de .

2- a ) On pose a 32 Justifier l'existence et l’unicite de  dans ; 2 2

   

 

 tel que : sin( ) a b) En utilisant  comme composee de fonctions, etudierles vacations de  sur ;

2

 

 

 

 puis sur ;

2

 

 

 

 .

c) Soit  la dérivé de  ; Pour tout nombre reel t, prouver l’égalité : ^^

 

^t ^ ^f^



^sin^t



^cos^t

Retrouver alors les valeurs pour lesquelles ^^

 

^x s'annule sur ; 2 2

  

 

 

d) Tracer la courbe representative de p sur ³ ; 2 2

  

 

 .

Exercice n° 4

Soit f la fonction définie sur



^{ }^1;



^{par :}

 

¹ ¹

f x 1

 x

  et

 

Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; :}^{ }



^.

1) a- Justifier que f est dérivable sur



^{ }^1;



et montrer que pour tout x  



1;



on a :

 

1

2 1 1

f x

x x

 



 

b- Dresser le tableau de variation de f.

2) Montrer que l’équation ^{f x}

 

^^x admet dans ^x^{  }



^1;



une unique solution  puis vérifier

que : ³ ⁷

2 4 3/ Tracer

 

^C^f ^.

4/ a- Montrer que pour tout ^x^{  }



^1;



^{on a :}

 

¹

f x  2

b- déduire que pour tout ^x^{  }



^1;



^{on a :}

 

¹

f x   2 x .

5/ a- Montrer que f admet une fonction réciproquef^¹ définie sur un intervalleJ que l’on précisera.

b- Tracer la courbe représentative de f^¹,la fonction réciproque de f dans le même repère c- Déterminer l’expression de ^f^¹

 

^x ^{pour tout}^x^^J ^.