Série n° 1 d’exercices non corrigés « Dérivabilité et Etude de fonction » EXERCICE 1

(1)

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Soit f la fonction définie par f x( )2x 1x² 1) Déterminer le domaine de définition de f

2) a- Étudier la dérivabilité de f à droite en 1 et à gauche en 1 b- Interpréter géométriquement les résultats précédents.

EXERCICE 2

Soit f la fonction définie sur  par :

3 3 2

( ) 3 ; 0

( ) 4 1 4 ; 0

f x x x x

   



    



1) Montrer que f est continue en x₀ 0

2) Étudier la dérivabilité de f en x₀ 0, puis donner une interprétation géométrique des résultats trouvés .

EXERCICE 3

Calculer f x( ) pour tout x de I dans chacun des cas suivants : 1) f x( )(x²5x1) x ; ^I ^



^0,^



2)

3

2 4

( ) ( 1)

f x  x  x ; I 

3) 1

( )

1 f x x

x

 

 ; ^I ^



^1,^



4) f x( ) x²4x5 ; ^I ^



^1,^



5) f x( )³ x³3x²1 ; ^I ^



^1,^



6) f x( ) ⁴ x⁴ x² 3 ; I  7) f x( )sin (³ x² x) ; I 

8) ^{( )}



² ³



¹³

1

f x x x

 x 

 ^;^I ^



^1,^



EXERCICE 4

Soit f la fonction définie par :

2 1

( ) sin ; 0

(0) 0

f x x x

x f

  

 

  

 



 



1) Montrer que f est dérivable en x₀ 0 et donner une interprétation géométrique.

2) Montrer que f est dérivable est dérivable sur, et calculer f x pour tout x^'( ) .

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 EXERCICE 5

Soit f la fonction définie par : f x( ) x³ 3x² 3x2

1) Calculer f x pour tout^'( ) x. 2) Donner le tableau de variation de f . EXERCICE 6

Soit f la fonction définie par : f x( ) ⁴ x⁴10x

1) Déterminer le domaine de définition de f . 2) Montrer que

 



^{ }^x ^0,10



^:

3 4 3

4 4 3

(10 ) '( )

4 ( (10 ))

x x

f x

x x

 





3) Déterminer le signe de f x^'( ) suivant les valeurs de x .

4) En déduire une comparaison des nombres  ⁴ 2⁴8 et B ⁴3⁴7 EXERCICE 7

Soit f la fonction définie par : f x( )x³3x

1) Étudier les variations de f .

2) Soitg la restriction de f sur ^I ^



^1;^



. Montrer que gadmet une fonction réciproqueg^¹ dans



^1;



I   définie sur un intervalle J que l’on déterminera.

3) Calculer



^g^¹



^'⁽⁰⁾^.

EXERCICE 8

Soit f la fonction définie sur



^0,^



par : ( )f x  x2 x 1

et

 

^C^f sa courbe représentative de dans un repère orthonormé



^{0, ,}^{ }^{i j}



^.

1) Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 , et donner une interprétation géométrique . 2) a- Calculer lim ( )

x f x

 .

b-Donner le tableau de variation de f . 4) a-Calculer f^"( )x pour tout ^x^



^0;^



^.

b-Étudier la concavité de la courbe

 

^C^f

5) Étudier la branche infinie de

 

Cf au voisinage de. 6) Construire la courbe

 

^C^f ^.

EXERCICE 9

Soit f la fonction définie par : ( )f x (x3) x3

et

 

^C^f sa courbe représentative de dans un repère orthonormé



^{0, ,}^{ }^{i j}



^.

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 1) Déterminer le domaine de définition de f

2) Étudier la dérivabilité de f à droite en 3, et donner une interprétation géométrique.

3) Calculer lim ( )

x f x

 , et étudier la branche infinie de

 

Cf au voisinage de. 4) a- Calculer f x pour tout ^'( ) ^x^



^3,^



^.

b-Donner le tableau de variation de f . 5) Construire la courbe

 

^C^f ^.

EXERCICE 10

Soit f la fonction définie par : f x( )  x 2 x²2x

et

 

Cf sa courbe représentative de dans un repère orthonormé



^{0, ,}^{ }^{i j}



^.

1) DéterminerD le domaine de définition def . 2) a- Calculer lim ( )

x f x

 et ^lim

 

x f x

 .

b- Montrer que la droite ( ) d’équation y2x3est asymptote à la courbe

 

Cf au voisinage de 

.

c- Étudier la position relative de

 

Cf avec l’asymptote ( ) sur



^2,^



^.

3) Étudier la branche infinie de

 

Cf au voisinage de.

4) Étudier la dérivabilité de f à droite en 2 et à gauche en 0, puis donner une interprétation géométrique des résultats trouvés.

5) a- Montrer que :

   

2 2

2 1

, 0 2, : '( )

2

x x x

x f x

x x

  

    





b- Montrer que :^{ }^x



^2,^



^: ^{f x}^{'( )}^⁰^{et que :}^{  }^x



^{, 0 :}



^{f x}^{'( )}^⁰

c- Donner le tableau de variation de f . 6) Construire la courbe

 

^C^f ^.

EXERCICE 11

La courbe ci-dessous est la courbe représentative notée

 

Cf d’une fonction f définie sur 

Les droites ( )D :y   x 2 et ( ) :y4 sont les asymptotes à

 

Cf respectivement en  et en . À partir du graphique et des renseignements fournis :

1) Quelles sont les limites de f en  et en  ? . 2) Quelle est la limite ende f(x) + x - 2 ?

3) Donner le tableau de variation de f.

4) Déterminer le signe de a- f.

b- f(x) + x - 2 c- f(x) -4

5) Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J que l’on déterminera.

6) DéterminerD le domaine de définition de la fonction h définie par : ( )h x  f x( )3 .

(4)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 EXERCICE 12

Soit f la fonction définie sur] 0,2[ par :

2

( ) 1 2 f x

x x



 .

On désigne par

 

C sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{0, ,}^{ }^{i j}



^.

1) a) Dresser le tableau de variation de f.

b) Construire la courbe

 

^{C .}

2) Soit g la restriction de f à l'intervalle [1,2[.

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle I à préciser.

b) Tracer dans le même repère la courbe

 

^C ^{de g}^-1^.