(1) Donner le tableau de variations def

1`ere S DST Commun 2015

Exercice 1 : Relations variations et d´eriv´ees de fonction (4 points) Partie A : Inverse d’une fonction

Cours :

Soit f :x7→ ¹_x d´efinie sur ]− ∞; 0[∪]0; +∞[

(1) Donner le tableau de variations def.

(2) Donner la d´eriv´eef⁰ de f puis le tableau de signes de f⁰ Application : Soit g:x7→ 10x²+ 25x−8

−2x²−5x+ 2.

(1) ´Etudier l’ensemble de d´efinition de la fonction g.

(2) Montrer queg(x) = 5− 2

−2x²−5x+ 2.

(3) a. ´Ecrire le polynˆome −2x²−5x+ 2 sous forme canonique.

b. En d´eduire le tableau de variations de la fonction x7→ −2x²−5x+ 2.

c. Puis le tableau de variations de g

(4) D´eterminer la d´eriv´eeg⁰ de g puis le tableau de signes deg sur [−2; 0].

Partie B : Racine carr´ee d’une fonction Cours : Soit h:x7→√

x

(1) Sur quel intervalle est d´efinie h?

(2) Donner le tableau de variations deh sur cet intervalle.

(3) a. Donner le domaine de d´erivation surI de h.

b. Donner la d´eriv´ee de h sur I.

c. A tous nombres` a eth non nuls, tel que (a+h)appartient `a I, le taux d’accroissement def entrea et a+h est le nombre : f(a+h)−f(a)

h .

En utilisant le taux d’accroissement, d´emontrer cette d´eriv´ee.

(4) D´eterminer le tableau de signes de h⁰ surI. Application :

Soit i:x7→√

2x²−3x+ 2

(1) ´Etudier l’ensemble de d´efinition de la fonction i.

(2) D´eterminer le tableau de variations deisur ]−10; 0[.

(3) a. Montrer que pour tout xet hdans ]−10; 0[, on a : f(x+h)−f(x)

h = 4x+ 2h−3

p

2(x+h)²−3(x+h) + 2 +√

2x²−3x+ 2.

b. En d´eduiref⁰(x) pour tout x∈]−10; 0[.

(4) D´eterminer le tableau de signes de i⁰(x).