(d) Donner le tableau des variations def sur l’intervalle [0

TS 8 DS 7 : Fonction ln, produit scalaire dans l’espace 11 mars 2017

Exercice 1 : Probl`eme : Fonction ln (50 minutes) (9 points)

Partie A :

On consid`ere la fonction f d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0; +∞[ par f(x) = 5 ln(x+ 3)−x.

1. (a) Montrer que, pour toutxstrictement positif, on a : f(x) =x 5^ln_x^x−1

+ 5 ln 1 +³_x . (b) En d´eduire la limite def en +∞.

(c) Calculerf⁰(x) et ´etudier son signe sur [0; +∞[.

(d) Donner le tableau des variations def sur l’intervalle [0; +∞[.

2. (a) Montrer que l’´equationf(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0; +∞[. On noteraαcette solution.

(b) Apr`es avoir v´erifi´e queαappartient `a l’intervalle [14; 15], donner une valeur approch´ee deα`a 10<sup>−2</sup> pr`es.

(c) En d´eduire le signe def sur l’intervalle [0; +∞[

Solution:

1. (a) x 5^ln_x^x−1

+ 5 ln 1 +³_x

= 5 lnx−x+ 5 ln(1 +³_x) = 5 ln x 1 +_x³

=f(x).

(b) Par croissance compar´ee lim

x→+∞

lnx

x = 0 donc par produit lim

x→+∞x 5^ln_x^x−1

=−∞.

x→+∞lim 1 + ³_x = 1 et lim

X→1ln(X) = 0, par composition, on a donc lim

x→+∞ln(1 +³_x) = 0.

Par somme, on a : lim

x→+∞f(x) =−∞. (c) f⁰(x) =_x+3⁵ −1 = ^2−x_x+3.

(d) 2−x >0 si x <2 et 2−x <0 si x >2, de plus x+ 3>0, on a donc le tableau suivant : x

f⁰(x) f

0 2 +∞

+ 0 −

5 ln(3) 5 ln(3)

5 ln 5−2 5 ln 5−2

−∞

−∞

Avecf(0) = 5 ln(3) etf(2) = 5 ln 5−2

2. (a) Sur [0; 2], le minimum def est 5 ln 3>0 donc l’´equation n’admet pas de solution.

Sur [2; +∞[, f est continue, strictement croissante et l’image de [2; +∞[ par f est ]− ∞; 5 ln 5−2] et 0∈]− ∞; 5 ln 5−2].

Par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution sur [2; +∞[.

Doncf(x) = 0 admet une unique solutionαsur [0; +∞[.

A la calculatrice, on trouve` α≈14,23 .

Partie B :

Soit (un) la suite d´efinie paru0= 4 etun+1= 5 ln(un+ 3) pour tout entier naturel n.

On consid`ere la fonction g d´efinie sur l’intervale [0; +∞[ parg(x) = 5 ln(x+ 3).

1. Conjecturer le sens de variations de la suite (un).

2. (a) ´Etudier le sens de variations de la fonctiongsur l’intervalle [0; +∞[.

(b) V´erifier que g(α) =α, o`uαest d´efinie enA.

(c) D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier natureln, on a 06un6un+16α.

(d) Montrer que la suite (u_n) converge. Puis d´eterminer sa limite.

Solution:

1. En calculant les premiers termes, on conjecture que la suite est croissante.

2. (a) g⁰(x) = _x+3⁵ doncg⁰(x)>0 etg est croissante sur [0; +∞[.

(b) f(α) = 0 doncg(α)−α= 0 etg(α) =α.

(c) Pour tout entier natureln, on d´efinitP(n) : 06un 6α .

Initialisation Pourn= 0,u0= 4,u1= 5 ln(7)≈9,72 donc 0<4<5 ln(7)< αdoncP(0) est vraie.

H´er´edit´e On suppose que la propri´et´e est vraie pour un entiern, montrons queP(n+ 1) est vraie.

On sait que 0 6 un 6un+1 6 α, or g est croissante donc g(0) 6 g(un) 6g(un+1)6 g(α). g(0) = 5 ln(3)>0 etg(α) =αdonc 06un+16un+26α.

Conclusion Il y a initialisation et h´er´edit´e donc par r´ecurrence, 0 6 un 6 un+1 6 αpour tout entier natureln.

TS 8 DS 5 : Complexe, espace et g´eom´etrie 2 sur 4 2016-2017 (d) La suite est donc croissante et major´e, par le th´eor`eme de convergence monotone, (un) converge vers un

r´eel`.

Par unicit´e de la limiteg(`) =`c’est-`a-dire `=α.

Exercice 2 : Probl`eme : Produit scalaire (45 minutes) (8 points)

Partie A : un calcul de volume sans rep`ere

On consid`ere une pyramide ´equilat`ere SABCD (pyramide

`

a base carr´ee dont toutes les faces lat´erales sont des tri- angles ´equilat´eraux) repr´esent´ee ci-contre.

Les diagonales du carr´e ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carr´e ABCD.

On admettra que OS = OA.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Proposition 2

Soit (E) l’équation (z−1)!

z²−8z+25"

=0 oùzappartient à l’ensembleCdes nombres complexes.

Les points du plan dont les affixes sont les solutions dansCde l’équation (E) sont les sommets d’un triangle rectangle.

Proposition 3 π

3 est un argument du nombre complexe!

−"

3+i"8

.

EXERCICE3 3 points

Commun à tous les candidats La suite (un) est définie par :

u0=0 et, pour tout entier naturel n,u_n+1= 1 2−un.

1. a. À l’aide du calcul des premiers termes de la suite (un), conjecturer la forme explicite deunen fonction den. Démontrer cette conjecture.

b. En déduire la valeur de la limiteℓde la suite (un).

2. Compléter, dans l’annexe 2, l’algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entierntel que|un+1−un|!^10−3.

EXERCICE4 4 points

Commun à tous les candidats

Partie A : un calcul de volume sans repère

On considère une pyramide équila- tère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci- contre.

Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD.

On admettra que OS = OA. A

B

C O

D S

1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

2. En déduire le volume, en cm³, de la pyramide SABCD.

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé#

O ;−−→OA , −−→OB ,−−→OS$ .

1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].

a. Justifier que→−n(1 ; 1 ;−3) est un vecteur normal au plan (PQC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).

2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

a. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).

b. Calculer les coordonnées du point H.

Amérique du Sud 2 22 novembre 2016

1. Sans utiliser de rep`ere, d´emontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

2. En d´eduire le volume, en cm³, de la pyramide SABCD.

Solution:

1. On sait que O est le centre du carr´e ABCD donc OA = OC.

On sait que la pyramide SABCD est ´equilat`ere `a base carr´ee donc SA = SC.

On se place dans le triangle SAC.

SA = SC donc le triangle SAC est isoc`ele.

OA = OC donc O est le milieu de [AC] et donc (SO) est la m´ediane issue de S du triangle SAC.

Comme le triangle SAC est isoc`ele de sommet principal S, la m´ediane issue de S est aussi une m´ediatrice ; on en d´eduit que (SO) est perpendiculaire `a (AC).

En se pla¸cant dans le triangle (SBD), on d´emontre de mˆeme que (SO) est perpendiculaire `a (BD).

La droite (SO) est perpendiculaire `a deux droites s´ecantes (AC) et (BD) du plan (ABC) donc la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

2. Le volume d’une pyramide est donn´e par la formuleV =aire de la base×hauteur

3 .

• La base de la pyramide est le carr´e ABCD dont les diagonales mesurent 24 cm.

Dans le triangle ABC isoc`ele rectangle en B on a, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, AB<sup>2</sup>+ BC<sup>2</sup>= AC<sup>2</sup> ce qui ´equivaut `a 2AB²= 24²ou AB²= 288.

L’aire du carr´e ABCD est AB²= 288 cm².

• D’apr`es le texte, SO = OA donc SO = 24 2 = 12.

Le volume de la pyramide est doncV = 288×12

3 = 1152 cm³. Partie B : dans un rep`ere

On consid`ere le rep`ere orthonorm´e

O ; −−→

OA, −−→

OB, −−→

OS

.

1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].

(a) Justifier que−→

n(1 ; 1 ; −3) est un vecteur normal au plan (PQC).

(b) En d´eduire une ´equation cart´esienne du plan (PQC).

2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

(a) Donner une repr´esentation param´etrique de la droite (SH).

(b) Calculer les coordonn´ees du point H.

(c) Montrer alors que la longueur SH, en unit´e de longueur, est 2√ 11 11 . 3. On admettra que l’aire du quadrilat`ere PQCD, en unit´e d’aire, est ´egale `a 3√

11 8 Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unit´e de volume.

TS 8 DS 5 : Complexe, espace et g´eom´etrie 3 sur 4 2016-2017 Solution:

On consid`ere le rep`ere orthonorm´e

O ; −−→

OA, −−→

OB, −−→

OS

.

On peut donc dire que les points O, A, B et S ont pour coordonn´ees respectives (0 ; 0 ; 0), (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0) et (0 ; 0 ; 1).

Comme O est le milieu de [AC] et de [BD], on peut dire que les points C et D ont pour coordonn´ees respectives (−1 ; 0 ; 0) et (0 ; −1 ; 0).

1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].

Donc P et Q ont pour coordonn´ees respectives 1

2 ; 0 ; 1 2

et

0 ; 1

2 ; 1 2

. (a) Soit −→

n le vecteur de coordonn´ees (1 ; 1 ; −3).

• Le vecteur−−→

PC a pour coordonn´ees

−3

2 ; 0 ; −1 2

.

−

→n .−−→

PC = 1×

−3 2

+ 0 + (−3)×

−1 2

= 0 donc−→ n ⊥−−→

PC .

• Le vecteur−−→

QC a pour coordonn´ees

−1 ; −1 2 ; −1

2

.

−

→n .−−→

QC = 1×(−1) + 1×

−1 2

+ (−3)×

−1 2

= 0 donc−→ n ⊥−−→

QC .

• Les vecteurs−−→

PC et−−→

QC ne sont pas colin´eaires car leurs coordonn´ees ne sont pas proportionnelles.

Le vecteur −→

n est orthogonal `a deux vecteurs −−→

PC et −−→

QC non colin´eaires, donc il est normal au plan (QPC).

(b) Le plan (QPC) est l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs−→ n et−−→

CM soient orthogonaux.

Si M a pour coordonn´ees (x; y ; z), le vecteur−−→

CM a pour coordonn´ees (x+ 1 ; y ; z ).

−−→CM ⊥−→

n ⇐⇒ −−→

CM ˙⊥−→

n = 0 ⇐⇒ 1×(x+ 1) + 1×y−3×z= 0 ⇐⇒ x+y−3z+ 1 = 0 Le plan (PQC) a pour ´equationx+y−3z+ 1 = 0.

2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

(a) La droite (SH) est orthogonale au plan (PQC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur −→

n qui est normal au plan (PQC).

La droite (SH) contient le point S de coordonn´ees (0 ; 0 ; 1).

La droite (SH) a donc pour repr´esentation param´etrique :







x = k

y = k

z = 1−3k

aveck∈R

(b) H∈(SH)∩(PQC) donc les coordonn´ees de H sont solutions du syst`eme :











x = k

y = k

z = 1−3k

x+y−3z+ 1 = 0 On a donck+k−3(1−3k) + 1 = 0 ⇐⇒ 11k= 2 ⇐⇒ k= 2

11. 1−3k= 1−3× 2

11 = 1− 6 11 = 5

11 Les coordonn´ees de H sont donc

2 11 ; 2

11 ; 5 11

. (c) SH²=

2 11−0

² +

2 11−0

² +

5 11 −1

²

= 4 11² + 4

11² + 36 11² = 44

11² donc SH =

√44 11 = 2√

11 11 . 3. On admettra que l’aire du quadrilat`ere PQCD, en unit´e d’aire, est ´egale `a 3√

11 8

La pyramide SPQCD a pour base le quadrilat`ere PQCD et pour hauteur SH ; son volume est donc V⁰ =SH×aire(PQCD

3 =

2√ 11 11 ×3√

11 8

3 =

6 8 3 = 1

4 unit´e de volume.

Partie C : partage ´equitable

TS 8 DS 5 : Complexe, espace et g´eom´etrie 4 sur 4 2016-2017 Pour l’anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny,

Madame Nova a confectionn´e un joli gˆateau en forme de pyramide ´equilat`ere dont les diagonales du carr´e de base mesurent 24 cm.

Elle s’apprˆete `a le partager en deux, ´equitablement, en pla¸cant son couteau sur le sommet. C’est alors qu’Anne arrˆete son geste et lui propose une d´ecoupe plus originale :

Place la lame sur le milieu d’une arˆete, parall`element `a un cˆot´e de la base, puis coupe en te dirigeant vers le cˆot´e oppos´e.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est2! 11 11 . 3. On admettra que l’aire du quadrilatère PQCD, en unité d’aire, est égale à3!

11 Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume. 8

Partie C : partage équitable

Pour l’anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confec- tionné un joli gâteau en forme de pyra- mide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm.

Elle s’apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C’est alors qu’Anne ar- rête son geste et lui propose une dé- coupe plus originale :

« Place la lame sur le milieu d’une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté op- posé ».

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables.

Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

EXERCICE5 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à 10⁻⁴ On étudie un modèle de climatiseur d’automobile composé d’un module méca- nique et d’un module électronique.

Si un module subit une panne, il est changé.

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

Une enseigne d’entretien automobile a constaté, au moyen d’une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modé- lisée par une variable aléatoireD qui suit une loi normale d’espéranceµ=50 et d’écart-typeσ:

1. Déterminer l’arrondi à 10⁻⁴deσsachant que le service statistique indique queP(D!⁴⁸⁾=0,7977.

Pour la suite de cet exercice, on prendraσ=2,4.

2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module méca- nique soit comprise entre 45 et 52 mois.

3. Déterminer la probabilité que le module mécanique d’un climatiseur ayant fonctionné depuis 48 mois fonctionne encore au moins 6 mois.

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

Sur le même modèle de climatiseur, l’enseigne d’entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modé- lisée par une variable aléatoireT qui suit une loi exponentielle de paramètreλ.

1. Déterminer la valeur exacte deλ, sachant que le service statistique indique queP(0"^T"²⁴⁾=0,03.

Amérique du Sud 3 22 novembre 2016

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas ´equitables.

Est-ce le cas ? Justifier la r´eponse.

Solution:

Dans le rep`ere de la partie B, la longueur OA est ´egale `a une unit´e de longueur et `a 12 cm. Donc l’unit´e de longueur vaut 12 cm et l’unit´e de volume vaut 12³= 1 728 cm³.

Le volume de la pyramide SABCD est ´egal `a 1 152 cm³.

Le volume de la pyramide SPQCD est ´egal `a 0,25 unit´e de volume, soit 0,25×1 728 = 432 cm³. Or 1 152

2 = 5766= 432 donc le partage propos´e par Fanny n’est pas ´equitable.

Exercice 3 : Prise d’initiative (20 minutes) (3 points)

On consid`ere l’´equation (E1) : e^x−xⁿ = 0

o`u xest un r´eel strictement positif etnun entier naturel non nul.

1. Montrer que l’´equation (E1) est ´equivalente `a l’´equation (E2) : ln(x)−x n = 0.

2. Pour quelles valeurs denl’´equation (E₁) admet-elle deux solutions ? Solution:

1. e^x−xⁿ= 0 ⇐⇒ e^x=xⁿ ⇐⇒ ln (e^x) = ln (xⁿ) ⇐⇒ x=nln(x) ⇐⇒ x

n = ln(x) ⇐⇒ ln(x)−x n = 0 Donc les ´equations (E1) et (E2) sont ´equivalentes.

2. L’´equation (E1) admet deux solutions si et seulement si l’´equation (E2) admet deux solutions.

Soit f la fonction d´efinie sur I = [0 ; +∞[ par f(x) = ln(x)− x

n; r´esoudre l’´equation (E2) revient donc `a r´esoudre l’´equationf(x) = 0.

Cherchons les limites de la fonctionf aux bornes de son ensemble de d´efinition : lim

x→0 x>0

ln(x) =−∞

x→0lim x n = 0







par somme

limx→0 x>0

f(x) =−∞

f(x) = ln(x)−x

n peut s’´ecrirex ln(x)

x − 1 n

pour toutxde [0 ; +∞[.

x→+∞lim ln(x)

x = 0 =⇒ lim

x→+∞

ln(x) x −1

n =−1 n <0

x→+∞lim x= +∞







par produit x→+∞lim x

ln(x) x −1

n

=−∞ ⇐⇒ lim

x→+∞f(x) =−∞

La fonctionf est d´erivable surI et f⁰(x) = 1 x− 1

n = n−x nx . f⁰(x) s’annule et change de signe pourx=net f(n) = ln(n)−n

n = ln(n)−1.

D’o`u le tableau de variation de la fonctionf :

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. On prendra iciλ=0,1733.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu’elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.

La probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplé- mentaires est la probabilité conditionnellePD!3(D!3+5).

On sait que la loi exponentielle est une loi à « durée de vie sans vieillissement » donc que, pour tous réels strictement positifssett:P_D!t(D!^s+t)=P(D!^s).

DoncP_D!3(D!³+5)=P(D!⁵⁾=1−P(D"⁵⁾=1−!

1−e^−5λ"

=e^−5×0,1733≈0,4204 Partie C

Un cabinet de sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet.

À la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, notéJ, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètresµetσ. Il apparaît queµ=358 jours.

1. D’après le cours, la variable aléatoireX=J−358

σ suit la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1.

2. On sait queP(J"³⁸⁵⁾=0,975.

J"385⇐⇒J−358"27⇐⇒ J−358

σ "²⁷_σ carσest un nombre strictement positif.

On cherche doncσpour queP

#

X"²⁷_σ^$"0,975 sachant queXsuit la loi normale centrée ré-

duite.

La calculatrice donne27

σ≈1,96 ce qui équivaut àσ≈13,77. On prendra doncσ=14.

EXERCICE2 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle[0 ;+∞[parf(x)=xe^−x. 1. D’après le cours, lim

x→+∞

e^x

x = +∞; donc lim x→+∞

x

e^x=0 ce qui équivaut à lim

x→+∞xe^−x=0.

Donc lim x→+∞f(x)=0

2. La fonctionfest dérivable surRdonc sur[0 ;+∞[et : f^′(x)=1×e^−x+x(−1×e^−x)=e^−x−xe^−x=(1−x) e^−x

Pour tout réelx, e^−x>0 doncf^′(x) est du signe de 1−x;f(0)=0 etf(1)=e⁻¹≈0,37 D’où le tableau de variation de la fonctionf sur[0 ;+∞[:

x 0 1 +∞

f^′(x) +++ 0 −−−

e⁻¹ f(x)

0 0

On donne la courbeCf représentative de la fonctionf dans un repère du plan ainsi que la droite∆ d’équationy=x.

Antilles-Guyane 2 11 septembre 2014

D’apr`es ce tableau de variation, l’´equationf(x) = 0 admet deux solutions dans [0 ; +∞[ si et seulement si le maximum de la fonctionf est strictement positif, c’est-`a-dire quand ln(n)−1>0 :

ln(n)−1>0⇔ln(n)>1⇔n >e donc n>3

Donc on peut dire que l’´equation (E₁) admet deux solutions si et seulement sinest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 3.