Corrigé DM 2

Corrigé DM 2

1) Choisissons 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41. Les restes dans la division euclidienne par 6 sont respectivement : 1 ; 5 ; 1 ; 5 ; 1 ; 1 ; 1 ; 5 . On peut donc conjecturer que les restes sont 1ou 5 .

2) A) Si 𝑝 = 6𝑞 + 2𝑘 = 2(3𝑞 + 𝑘) pair . Si 𝑝 = 6𝑞 + 3𝑘 = 3(2𝑞 + 𝑘) est bien divisible par 3

B) D’après le a) , si r est égal à 0 , 2 , 3 ou 4 , p n’est pas premier . Donc les seuls cas possibles pour des nombres premiers , sont r égal à 1 ou à 5 .

3) On a deux cas possibles :

𝑝 = 6𝑞 + 1 qui donne 𝑝² = 36𝑞²+ 12𝑞 + 1 = 12(3𝑞²+ 𝑞) + 1 . Reste égal à 1

𝑝 = 6𝑞 + 5 qui donne 𝑝² = 36𝑞²+ 60𝑞 + 25 = 12(3𝑞²+ 5𝑞 + 2) + 1 . Reste égal à 1 .