Corrigé du DM

Seconde 7

Corrigé du DM

1) Aire(MNPQ) = Aire(ABCD) – (Aire(AMQ) + Aire(DPQ) + Aire(PCN) + Aire(MBN)) = 20² – (4 ×^{(20−𝑥)×𝑥}

2 ) (En effet, les 4 triangles sont identiques. Ce sont tous des triangles rectangles)

= 400 – 2(20x – x²) = 2x² – 40x + 400 = S(x) 2) S(x) > 272 ⟺ 2x² – 40x + 400 > 272

⟺ 2x² – 40x + 400 – 272 > 0

⟺ 2x² – 40x + 128 > 0

3) a)

b)

Conjecture : Il semblerait que S(x)>272 pour x ϵ [0 ; 4[⋃]16 ;20]

4) a) (8 – 2x)(16 – x) = 8×16 – 8×x – 2x×16 – 2x×(-x) = 128 – 8x – 32x + 2x²

= 2x² – 40x + 128 b) Etude du signe :

8 – 2x > 0 ⇔ -2x > - 8 ⇔ x < ⁻⁸

−2 = 4 16 – x > 0 ⇔ -x > -16 ⇔ x < 16 Tableau de signes :

x 0 4 16 20

Signe de 8 – 2x + 0 - -

Signe de 16 – x + + 0 -

Signe du produit + 0 - 0 +

Conclusion :

L’aire du carré MNPQ dépasse 272 cm² pour x ϵ [0 ; 4[ ∪ ]16 ;20] , ce qui correspond bien à la conjecture faite dans la réponse à la question 3b)