Corrigé DM numéro 2

Corrigé DM numéro 2

Exercice 1 : On considère la suite u_ndéfinie par :

{

1. Notons P_n: 0u_n3 .

a . On a ^u0=3 d'où la propriété est vraie au rang 0.

b. Supposons la propriété vraie à un certain rang n.

alors 0u_n3 d'où 1u_n14 soit 1

4 1 u_n11 et donc 1

2 2

u_n12 , c'est à dire que 0u_n13 et donc que la propriété est vraie au rang n1

Conclusion : Par récurrence sur n, on a ∀n∈ℕ,0u_n3

2. On considère la suite v_n définie, pour tout n∈ℕ, par : v_n=u_n−1 u_n2

v_n1=u_n1−1 u_n12=

2 1u_n−1

2 1u_n2

= 2−1−u_n

222u_n= 1−u_n

42u_n=− u_n−1

22u_n=−1 2v_n donc la suite v_n est géométrique de raison −1

2 et de premier terme v₀=2 5 . 3. On obtient donc v_n=2

5





On a −1−1

21 d'où la limite de la suite v_n est 0.

4. v_n=u_n−1

u_n2⇔v_nu_n2=u_n−1⇔v_nu_n−u_n=−1−2v_n⇔u_nv_n−1=−1−2v_n⇔u_n=12v_n 1−v_n d'où la limite de la suite u_n est 1.

Exercice 2 : Soit n∈ℕ^*

On désigne par S_n la somme des cubes des n premiers entiers naturels impairs : S_n=1³3³5³...2n−1³

1. On pose P_n : S_n=2n⁴−n².

a . S₁=1³ et 2×1⁴−1²=1d'où la propriété est vraie au rang 1.

b . Supposons la propriété vraie à un certain rang n.

alors S_n1=1³3³5³...2n−1³2n1³=

∑

k=1 n

2k−1³2n1³ d'où S_n1=2n⁴−n²2n1³ par hypothèse de récurrence.

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On a donc S_n1=2n⁴−n²8n³12n²6n1=2n⁴8n³11n²6n1 .

or 2n1⁴−n1²=2n⁴8n³12n²8n2−n²−2n−1=2n⁴8n³11n²6n1 et donc que la propriété est vraie au rang n1

Conclusion : Par récurrence sur n, on a ∀n1, S_n=2n⁴−n²

2. 1³3³5³...2n−1³=913276⇔2n⁴−n²=913276⇔2N²−N−913276=0 en posant N=n².

=7306209 et



4 , seule la valeur positif est acceptable.

On a donc N=676 et donc n=26.

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