DM 7 Corrigé
Un générateur sinusoïdal alimente un circuitRLC constitué d’un condensateur de capacitéC =0, 1µF, d’une bobine réelle d’inductanceL et de résistance r inconnues, placés en série avec une résistanceR =480Ω. Le générateur est un générateur basse fréquence de résistance interneRg =50Ωdélivrant un signal sinusoïdal de pulsationωet de f.é.m. efficaceE:e(t)=Ep
2 cos(ωt).
1 À chaque signal réel on associe son signal complexe.
e(t)=Ep
2 cos(ωt) 7→ e(t)=Eexp(jωt) avec l’amplitude complexe E=Ep 2 i(t)=Ieffp
2 cos(ωt+ψ) 7→ i(t)=Iexp(jωt) avec l’amplitude complexe E=Ieffp 2ejψ uc(t)=Ueffcos(ωt+ϕ) 7→ ~uc(t)=Ucexp(jωt) avec l’amplitude complexe Uc=Ueff
p2ejϕ
2 Soitu(t)=Umcos(ωt+ϕ) une tension sinusoïdale. Par définition de sa valeur efficace
Ueff = s
1 T
w−ϕω+T
−ωϕ u(t)2dt on applique la définition,
= s
1 T
w−ϕω+T
−ωϕ Um2 cos2(ωt+ϕ)dt on remplace,
= s1
T
w−ϕω+T
−ωϕ Um2 1+cos(2ωt+2ϕ)
2 dt on utilise ses formules de trigonométrie,
= Um s 1
2T
w−ϕω+T
−ϕω dt+ 1 2T
w−ϕω+T
−ϕω cos(2ωt+2ϕ)dt par linéarité de l’intégrale,
= Um
r 1
2T ×T+0 le cosinus est à valeur moyenne nulle
Ueff=Um
p2
Cette valeur peut se mesurer avec unvoltmètreréglé enmode alternatif AC.
3 On rappelle les expressions des impédances complexes des dipôles usuels résistance ZR=R
bobine ZL=j Lω
4 On déduit de ces impédances le comportement asymptotique de la bobine et du condensateur
• En basse fréquence, on remplace
ω→0−→
ω→0−→
On en déduit la valeur de la tension de sortie.
• En haute fréquence, on remplace
ω→∞−→
ω→∞−→
Le circuit se comporte alors comme
E
R+RS+r
UC=E I=0
En basse fréquence
E
R+RS+r
UC=0 I=0
En haute fréquence
Le circuit se comporte comme unfiltre passe-bas.
5 La bobine et les résistances sont en série, ils sont donc équivalent à un unique dipôle d’impédance complexe Zeq=RS+r+R
| {z }
Rtext t ot
+j Lω D’après la loi du diviseur de tension
UC =
1 jCω R0+j Lω+ 1
jCω E
UC = 1
1+j R0Cω−LCω2E
On pose ω0= 1
pLC la pulsation propre du système, et Q=1
0
rL
R le facteur de qualité.
6 Par définition de la tension efficace
Ueff=|UC|
p2 = E
s µ
1−
³ω ω0
´2¶2
+
³ ω Qω0
´2
7 On posex=ω/ω0la pulsation réduite. On obtient
Ueff= E
r
¡1−x2¢2
+³
x Q
´2
Un éventuel maximum de l’amplitude correspond à un minimum de la fonction f(x)=x2+Q2(1−x2)2.
Sa dérivée vaut
d f(x)
d x = 2x+Q2×(−2x)×2(1−x2)
= 2x−4xQ2(1−x2)
= 2x¡
1−2Q2(1−x2)¢
Cette dérivée s’annule enx=0, et en xr= s
1− 1
2Q2 siQ2≥12. Il existe unerésonance en tensionen ωr=ω0
s 1− 1
2Q2 <ω0 lorsque Q≥Qmin
p2 2 . 9 Enω=ω0, Ueff=QE .
10 Les dipôles étant en série, l’impédance équivalente vaut
Z=R+Rs+r+j Lω+ 1
jCω=(R+Rs+r) Ã
1+j 1 R+Rs+r
s L C
µp
LCω− 1 pLCω
¶!
=R0 µ
1+jQ µω
ω0−ω0
ω
¶¶
avec R0=R+Rs+r . 11 D’après la loi d’Ohm
I(jω)=E
Z = 1
1+jQ³
ωω0−ωω0
´ E R0
12 Par définition de la valeur efficace
Ieff(ω)= |I|
p2= E/R0
s 1+Q2
µω ω0−ω0
ω
¶2 .
En utilisant la loi d’Ohm aux bornes du condensateur, on obtient les valeurs deIeffsans nouvelle série de mesure
Ieff=CωUeff 13 Cette amplitude est maximale quand la fonctionf :x7→1+Q2¡
x−1x¢2
est minimale. Il est immédiat de voir que ce minimum vaut 1 pourx=0.
L’amplitude maximale du courant vaut Imax= E R0
pour ω0r=ω0 .
14 On définit la bande passante du filtre comme étant la la plage de pulsation [ω1,ω2] telle que
∀ω∈[ω1,ω2],Ieff(ω)≥Imax
p2
Recherchons les bornes de cette plage de pulsation
Ieff(x)=Imax
p2 ⇔ 1
s 1+Q2
µ x−1
x
¶2Imax=Imax
⇔ s
1+Q2 µ
x−1 x
¶2
=p 2
⇔ 1+Q2 µ
x−1 x
¶2
=2
⇔ Q2 µ
x−1 x
¶2
=1
⇔ ≤Q µ
x−1 x
¶
=1 ou ≤Q µ
x−1 x
¶
= −1
⇔ x2+ x
Q −1=0 ou x2−x
Q−1=0
⇔ x= − 1 2Q−
s 1
4Q2+1 ou x= 1 2Q −
s 1 4Q2+1 ou x= − 1
2Q+ s 1
4Q2+1 ou x= 1 2Q +
s 1 4Q2+1 En ne conservant que les valeurs positives, on obtient la bande passante
"
−ω0
2Q+ω0
s 1
4Q2+1,ω0
2Q+ω0
s 1 4Q2+1
#
La largeur de la bande passante vaut donc
∆ω=ω0
Q
La largeur de la bande passante est d’autantplus étroiteque lefacteur de qualité est grand. Le facteur de qualité mesure la sélectivité du filtre passe-bande que nous venons de créer.
On définit l’acuité de la résonance comme étant le rapport ω0
∆ω=Q
15 En basse fréquence, la valeur efficace de la tensionuc(t) tend versEp
2 tandis que celle du courant tend vers 0. On en déduit que la courbe entrait pleinest celle de l’amplitude de latension; celle entraits pointillés est celle ducourant.
La position de maximum permet aussi l’identification des courbes.
16 On se place enf =0 :E=Ueff=5, 0 V.
On cherche le maximum de la courbe (2) :Imax=9 mA pourf0=1, 6 kHz.
Recherchons la longueur de la bande passante en cherchant les fréquences f1et f2telles queIeff=Ipmax2 = 6, 4 A : f1=1, 2 kHz etf2=2, 1 kHz.
En utilisant l’acuité de la résonance, on trouve le facteur de qualité Q= f0
∆f =1, 8
17 Par définition de la fréquence propre f0= 1
2πp
LC ⇔ L= 1
4π2f02C =99 mH
#Ordre de grandeur usuel pour une bobine.
En utilisant le facteur de qualité, on trouver
Q= 1
R+Rs+r s
L
C ⇔ r= 1 Q
s L
C −R−Rs =23Ω
#Valeur classique (voire même un peu faible en comparaison des valeurs de TP) d’une résistance interne de bobine.
18 Par définition du déphasage entre le courantiet la tensione ψ=arg¡
I¢
= −arg
1
|{z}
>0
+jQ µω
ω0−ω0
ω
¶
= −arctan µ
Q µω
ω0−ω0
ω
¶¶
=ψ
Par définition du déphasage entre la tensionucet la tensione ϕ0=arg¡
Uc¢
=arg µ 1
jCωI
¶
= −π
2−arctan µ
Q µω
ω0−ω0
ω
¶¶
=ϕ0
Enω=ω0
ψ(ω0)=0 et ϕ0(ω0)= −π 2
19 On mesurera la tension aux bornes d’un résistor pour obtenir l’image du courant (on placera la résistance en dernier dans le circuit)
E Rg
C
R L0,r0
UR=R I I
X Y
20 Pourω=ω0, on observe un maximum d’amplitude aux bornes deRcorrespondant à une résonance en courant. Ce maximum correspond à unminimum de l’impédance réelledu circuit.
21 Les deux courbes sont en phase dans l’oscillogramme (a). On a montré, en question 18, que le courant esten phaseavec la tensione à la pulsationω0. La voieY représente la tensionuR(t) aux bornes de la résistance.
La courbe en pointillée est en quadrature retard par rapport àe(t) dans l’oscillogramme (b). On a montré, en question 18, que la tension aux bornes deC est enquadrature retardpar rapport à la tensioneà la pulsationω0. La voieY représente la tensionuC(t) aux bornes du condensateur.
On notera l’existence d’une surtension (Uc >E), permettant d’affirmer que le facteur de qualitéQ est supérieur àp
2/2.
22 En mesurant l’amplitude de la tension aux bornes deR, on obtient l’expression der0
UR(ω0)=R I(ω0) ⇔ UR(ω0)= R R+r0+Rg
E
⇔ r0=R E
UR(ω0)−R−Rg =70Ω
On a deux manières d’accéder àL0. On peut déterminer la fréquence propref0et en déduireL0 f0= 1
2πp
LC ⇔ L0= 1 4πf02C ou on peut déterminer le facteur de qualité
UC(ω0)=QE ⇔ 1 R+Rg+r0
s L0 C =UC
E
⇔ L0=(R+Rg+r0)2UC2 E2C
On trouveL0=0, 4 H.
