Corrigé du DM&M’s 2 – Terminale
Corrigé de l’exercice 1 : Études de monotonie de suites
1. On considère la suite (𝑢4) définie pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢;= 1 𝑢4=>= 𝑢4− 4𝑛 + 8 Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢4=>− 𝑢4= 𝑢4− 4𝑛 + 8 − 𝑢4 = −4𝑛 + 8.
Étudions le signe de −4𝑛 + 8 en résolvant l’inéquation −4𝑛 + 8 > 0 :
−4𝑛 + 8 > 0 ⟺ −4𝑛 > −8
⟺ 𝑛 < −8
−4 = 2
Conclusion : pour 𝑛 < 2, on a donc 𝑢4=>− 𝑢4> 0 (ou encore 𝑢4=>> 𝑢4).Autrement dit, pour 𝑛 ≥ 2, 𝑢4=>− 𝑢4 < 0 (ce qui est équivalent à 𝑢4=>< 𝑢4).
Ainsi, la suite (𝒖𝒏) est décroissante à partir du rang 𝟐.
2. La suite (𝑣4) est définie par 𝑣4=34𝑛 pour tout 𝑛 ∈ ℕ. (on suppose que tous les termes sont strictement positifs. )
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, ]^_`]
^ =
a^_`
b a^
b
=c^_`d ×cd^=c^_`c^ = 34=>f4 = 3>= 3 > 1 Ainsi, ]^_`
]^ > 1 ce qui est équivalent (vu que tous les termes sont strictement positifs) à 𝑣4=>> 𝑣4. Conclusion : la suite (𝒗𝒏) est strictement croissante.
