DM Partie 2

(1)

En attendant, il est très important de vous préparer afin d’optimiser votre année.

Je vous propose un devoir maison en plusieurs parties : 1. Kit de survie

Tout ce que vous apprendrez cet été vous fera gagner du temps les premières semaines de l’année, et en classe prépa, le temps c’est précieux !

2. Devoir maison sous forme d’exercices

Cette partie sera mise en ligne sur le site de la classe d’ici lundi 05 juillet 2021 remarque

Pour toute question, je suis joignable par mail : [email protected]

(2)

1.1 Tableau des d´eriv´ees usuelles

Fonction f D_f Fonction d´eriv´ee f⁰ D_f⁰

xⁿ, n ∈ N R nxⁿ⁻¹ R

1

xⁿ = x⁻ⁿ, n ∈ N\ {0} R\ {0} − n

xⁿ⁺¹ = −nx⁻ⁿ⁻¹ R\ {0}

x^α, α ∈]0,+∞[ ]0,+∞[ αx^α−1 ]0,+∞[

e^x R e^x R

lnx R^∗+

1

x R^∗+

cosx R −sinx R

sinx R cosx R

1.2 Opérations sur les dérivées et dérivée d’une composée

Attention aux domaines de d´erivation des fonctions avant d’appliquer ces formules ! (u+v)⁰ = u⁰ +v⁰ (uv)⁰ = u⁰v +uv⁰

1 u

0

= −u⁰ u²

u v

0

= u⁰v−uv⁰ v²

(v◦u)⁰ = (v⁰◦u)u⁰

(3)

(√

u)⁰ = u⁰ 2√

u (lnu)⁰ = u⁰

u (e^u)⁰ = u⁰e^u (sinu)⁰ = u⁰cosu (cosu)⁰ = −u⁰sinu

(4)

Fonctions usuelles

Fonction exponentielle

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f 0

A

2 D´ efinition et propri´

a

et´ es alg´ ebriques

Th´eor`eme 1.

Il existe une unique fonction y d´efinie et d´erivable sur R telle que:

y⁰ = y y(0) = 1 D´efinition.

On appelle fonction exponentielle cette unique fonction.

On la note exp ou encore

R → R x 7→ exp(x) = e^x Propri´et´es 1.

La fonction exponentielle v´erifie:

1. ∀x ∈ R, e^x 6= 0 2. ∀x ∈ R, e^xe^−x = 1

3. ∀(x, y) ∈ R², e^x+y = e^xe^y 4. ∀x ∈ R,∀n∈ Z (e^x)ⁿ = (e^nx)

(5)

Th´eor`eme 2.

La fonction exponentielle est strictement positive sur R.

∀x ∈ R, e^x > 0 Th´eor`eme 3.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R Th´eor`eme 4.

x→−∞lim e^x = 0 lim

x→+∞e^x = +∞

Tableau de variations

x −∞ +∞

+∞

Variations de exp

%

0 Th´eor`eme 5.

La fonction exponentielle r´ealise une bijection continue et strictement monotone de R dans R^∗+.

3.2 Croissances comparées Propriétés 2.

∀x ∈ R, e^x ≥1 +x Propri´et´es 3.

1. ∀n ∈ N, lim

x→+∞

e^x

xⁿ = +∞ ∀n∈ N, lim

x→−∞xⁿe^x = 0 2. lim

x→0

e^x−1 x = 1

3.3 Fonction composée Théorème 6.

Soit u une fonction d´erivable sur un intervalle I de R.

Alors la fonction eû est dérivable sur I et sa dérivée est u⁰eû.

(6)

Fonction logarithme n´ ep´ erien

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

0

f A

a g

1 D´ efinition et propri´ et´ es alg´ ebriques

Th´eor`eme 1.

La fonction exponentielle ´etablit une bijection de R dans R^∗+. Il existe donc une bijection r´eciproque de R^∗+ dans R.

D´efinition.

On appelle fonction logarithme n´ep´erien cette fonction.

On la note

R^∗+ → R x 7→ ln(x) Propri´et´es 1.

La fonction logarithme népérien vérifie:

1. ∀x ∈ R^∗+, e^ln^x = x 2. ∀x ∈ R,ln(e^x) = x Propri´et´es 2.

1. ∀(a, b) ∈ (R^∗+), ln(ab) = lna+ lnb ln(a

b) = lna−lnb 2. ∀a ∈ R^∗+∀n∈ N, ln(1

a) =−lna ln (aⁿ) =nlna ln √ a

= 1 2lna

(7)

Th´eor`eme 2.

La fonction logarithme népérien est dérivable sur R^∗+. De plus, si

∀x ∈ R^∗+, f(x) = ln(x) alors

∀x ∈ R^∗+, f⁰(x) = 1 x Th´eor`eme 3.

La fonction logarithme n´ep´erien est strictement croissante sur R^∗+

Th´eor`eme 4.

limx→0lnx = −∞ lim

x→+∞lnx = +∞

x 0 +∞

k +∞

Variations de ln

k %

k −∞

Th´eor`eme 5.

La fonction logarithme népérien réalise une bijection continue et strictement monotone de R^∗+ dans R.

1. ∀n ∈ N^∗, lim

x→+∞

lnx

xⁿ = 0 ∀n∈ N^∗, lim

x→0xⁿlnx= 0 2. lim

x→0

ln(1 +x)

x = 1

Soit u une fonction d´erivable sur un intervalle I de R.

Alors la fonction lnu est dérivable sur I et sa dérivée est u⁰¹_u.

(8)

Fonctions puissances

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0

f^√₂ = x

√ 2

f_e = x^e fπ = x^π

f₁ = x¹

f¹

2 = x¹² f¹

5 = x¹⁵

Figure 1: Cas o`u α >0

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0

f_−0.1 = x^−0.1 f₋¹

2 = x⁻¹² f−1 = x⁻¹ f₋₂ = x⁻²

Figure 2: Cas o`u α <0

1 D´ efinition et propri´ et´ es alg´ ebriques

D´efinition.

Soit α ∈ R.

On appelle fonction puissance α la fonction:

p_α :

R^∗+ → R^∗+

x 7→ x^α = e^α^ln^x Propri´et´es 1.

La fonction puissance α v´erifie:

1. ∀α ∈ R,∀(x, y) ∈ (R^∗+)², (xy)^α = x^αy^α 2. ∀(α, β) ∈ R²,∀x ∈ R^∗+, x^α+β = x^αx^β 3. ∀(α, β) ∈ R²,∀x ∈ R^∗+, x^αβ = (x^α)^β

(9)

Th´eor`eme 1.

La fonction puissance α est d´erivable sur R^∗+.

De plus, si pα :x 7→ x^α alors p⁰_α :x 7→ αx^α−1 Th´eor`eme 2.

• Si α > 0, la fonction puissance α est strictement croissante sur R^∗+

• Si α < 0, la fonction puissance α est strictement d´ecroissante sur R^∗+

• Si α = 0, la fonction puissance α est constante sur R^∗+

x 0 +∞

k +∞

Variations de ln

k %

k 0

Table 1: Cas o`u α >0

x 0 +∞

k +∞

Variations de ln

k &

k 0

Table 2: Cas o`u α <0

Th´eor`eme 3.

La fonction puissance α r´ealise une bijection continue et strictement monotone de R^∗+

dans R^∗+.

∀(α, β) ∈ (R^∗+)², lim

x→+∞

(lnx)^α

x^β = 0 lim

x→0x^β(|lnx|)^α = 0

∀(α, β) ∈ (R^∗+)², lim

x→+∞

e^αx

x^β = +∞ lim

x→−∞|x|^βe^αx = 0 2.3 Fonction compos´ee

Th´eor`eme 4.

Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur une partie D de R et v une fonction définie sur D .

Alors la fonctionf : x 7→(u(x))^v(x) est définie et dérivable sur D et sa dérivée se retrouve

`

a partir de la formule f(x) =ev(x) ln(u(x)).

(10)

Fonction cosinus

1 D´ efinition et propri´ et´ es alg´ ebriques

D´efinition.

On considère un cercle de centre l’origine O et de rayon 1, appelé le cercle unité et le point A de coordonnées (1,0).

Le point du cercle M, tel que l’angle−→

OA,−−→

OM

ait pour mesure θ, a pour coordonn´ees (cosθ,sinθ).

A

θ M

cosθ sinθ

On appelle fonction cosinus la fonction ainsi d´efinie:

cos :

R → R x 7→ cos(x) Propri´et´es 1.

La fonction cosinus v´erifie:

1. ∀x ∈ R,cos(x+ 2π) = cos(x) 2. ∀x ∈ R,cos(−x) = cos(x) 3. ∀x ∈ R,cos(π −x) = −cos(x) 4. ∀x∈ R,cos(π +x) =−cos(x) Quelques valeurs g´eom´etriquement remarquables:

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π cosx 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −1

(11)

Th´eor`eme 1.

La fonction cosinus est d´erivable sur R.

De plus, si pour tout x ∈ R, f(x) = cosx, alors pour tout x ∈ R, f⁰(x) =

−sinx

Propri´et´es 2.

La fonction cosinus est p´eriodique de p´eriode 2π et paire.

Remarques.

• Il suffira donc d’´etudier cette fonction sur [0, π].

La parité permettra d’étendre l’étude sur [−π, π], puis la périodicité sur R.

• On pourrait également remarquer (et démontrer ) géométriquement que

∀x ∈ [0, π],cos(π−x) =−cos(x),

ce qui permettrait une réduction de l’ensemble d’étude sur [0,^π₂] car C_f admet pour centre de symétrie le point de coordonnées ^π₂; 0

. Tableau de variations

x 0 π

1

Variations de cos

&

−1 Th´eor`eme 2.

La fonction cosinus r´ealise une bijection continue et strictement monotone de [0;π] dans [−1; 1].

Soit u une fonction définie, dérivable sur une partie D de R . Alors la fonction f : x 7→ cos (u(x)) est définie et dérivable sur D

et sa d´eriv´ee est f⁰ :x 7→ −u⁰(x) sin (u(x)).

(12)

Fonction sinus

1 D´ efinition et propri´ et´ es alg´ ebriques

D´efinition.

On considère un cercle de centre l’origine O et de rayon 1, appelé le cercle unité et le point A de coordonnées (1,0).

Le point du cercle M, tel que l’angle −→

OA,−−→

OM

ait pour mesure θ, a pour coordonn´ees (cosθ,sinθ).

A

θ M

cosθ sinθ

On appelle fonction sinus la fonction ainsi d´efinie:

sin :

R → R x 7→ sin(x) Propri´et´es 1.

La fonction sinus v´erifie:

1. ∀x ∈ R,sin(x+ 2π) = sin(x) 2. ∀x ∈ R,sin(−x) = −sin(x) 3. ∀x ∈ R,sin(π−x) = sin(x) 4. ∀x ∈ R,sin(π+x) = −sin(x) Quelques valeurs g´eom´etriquement remarquables:

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π sinx 0 ¹₂

√2 2

√3

2 1 0

(13)

Th´eor`eme 1.

La fonction sinus est d´erivable sur R.

De plus, si pour toutx ∈ R, f(x) = sinx, alors pour tout x ∈ R, f⁰(x) = cosx Propri´et´es 2.

La fonction sinus est p´eriodique de p´eriode 2π et impaire.

Remarques.

• Il suffira donc d’´etudier cette fonction sur [0, π].

La parité permettra d’étendre l’étude sur [−π, π], puis la périodicité sur [−2π,2π].

• On pourrait également remarquer (et démontrer ) géométriquement que

∀x ∈ [0, π],sin(π−x) = sin(x),

ce qui permettrait une réduction de l’ensemble d’étude sur [0,^π₂] car C_f admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = ^π₂.

x 0 ^π₂ π

1

Variations de sin

% &

0 0

Th´eor`eme 2.

La fonction sinus r´ealise une bijection continue et strictement monotone de [−π/2;π/2]

dans [−1; 1].

Soit u une fonction définie, dérivable sur une partie D de R . Alors la fonction f : x 7→ sin (u(x)) est définie et dérivable sur D

et sa d´eriv´ee est f⁰ :x 7→ u⁰(x) cos (u(x)).

(14)

Fonction tangente

1 D´ efinition et propri´ et´ es alg´ ebriques

D´efinition.

On appelle fonction tangente la fonction : tan :

R\_π

2 +kπ, k ∈ Z → R

x 7→ tan(x) = _cos^sin^x_x Propri´et´es 1.

La fonction tan v´erifie:

1. ∀x ∈ R\nπ

2 +kπ, k ∈ Z o

,tan(x+π) = tan(x) 2. ∀x ∈ R,tan(−x) = −tan(x)

3. ∀x ∈ R,tan(π −x) = −tan(x)

Quelques valeurs g´eom´etriquement remarquables:

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π

tanx 0 ¹ 1 √

3 || 0

(15)

Th´eor`eme 1.

La fonction tangente est d´erivable sur tout intervalle inclus dans R\_π

2 +kπ, k ∈ Z . De plus, si pour tout x ∈ R\nπ

2 +kπ, k ∈ Z o

, f(x) = tanx, alors pour tout x∈ R\nπ

2 +kπ, k ∈ Z o

, f⁰(x) = 1 + tan²x = 1 cos²x Propri´et´es 2.

La fonction tangente est p´eriodique de p´eriode π et impaire.

Remarques.

Il suffira donc d’´etudier cette fonction sur [0, ^π₂].

La parité permettra d’étendre l’étude sur [−^π₂, ^π₂], puis la périodicité surR\_π

2 +kπ, k ∈ Z . Tableau de variations

x −^π₂ ^π₂

k +∞ k

Variations de tan k

%

^k

k −∞ k

Th´eor`eme 2.

La fonction tangente r´ealise une bijection continue et strictement monotone de ]− ^π₂; ^π₂[ dans R.

Soit u une fonction d´efinie, d´erivable sur une partie D de R telle que pour tout u(D) ⊂ ]− ^π₂; ^π₂[.

Alors la fonction f : x 7→ tan (u(x)) est définie et dérivable sur D et sa dérivée est f⁰ : x 7→ u⁰(x)(1 + tan²(u(x))) = _cosû2⁰(u(x))^(x) .

2.3 Formules d’addition

tan(a+b) = tana+ tanb

1−tana tanb tan(a−b) = tana−tanb 1 + tana tanb

(16)

Tableau de valeurs

Les valeurs particuli`eres suivantes des fonctions sin et cos sont `a connaˆıtre absolument, celles de la fonction tan se retrouvent facilement:

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π cosx 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −1

sinx 0 ¹₂

√ 2 2

√ 3

2 1 0

tanx 0 ^√¹

3 1 √

3 || 0 Rappels:

e^ix = cos(x) +isin(x), cos(x) = e^ix +e^−ix

2 , sin(x) = e^ix−e^−ix 2i sin

x+ π 2

= cos(x), cos π

2 −x

= sin(x), sin π

2 −x

= cos(x) Formules de duplication

cos 2x = cos²x−sin²x = 2 cos²x−1 = 1 −2 sin²x sin 2x = 2 sinxcosx

Formules d’addition

cos(a+b) = cosa cosb−sina sinb cos(a−b) = cosa cosb+ sina sinb sin(a+b) = sina cosb+ cosa sinb sin(a−b) = sina cosb−cosa sinb Formules de lin´earisation

cosa cosb = 1 2

cos(a+ b) + cos(a−b) sina sinb = 1

2

cos(a−b)−cos(a+b) sina cosb = 1

2

sin(a+b) + sin(a−b) cos²x = 1 + cos(2x)

sin²x = 1−cos(2x)