Pr´epa `a la pr´epa - juin 2020 - Correction

Pr´ epa ` a la pr´ epa - juin 2020 - Correction

1 S´ eance n

1

1.1 Exercice n

1

Montrer que √ 3 +√

2 est un nombre irrationnel.

Rappel : Dans N, si n=d², alors √

n=d, et si n n’est pas un carr´e, √

n /∈Q.

• Commen¸cons par montrer que √

2 n’est pas un nombre rationnel.

Supposons par l’absurde que √

2∈Q, c’est-`a-dire que

√2 = p q avecp et q premiers entre eux.

Alors 2 = p²

q², et donc 2q² =p². Ainsi p² est pair, et donc p est pair. Il vient

∃k∈N, p= 2k Ainsi

2q² = (2k)² = 4k²

Doncq² = 2k², et doncq² est pair, et ainsi q est pair. D’o`u contradiction. Ainsi√ n’est pas rationnel. 2

• Montrons par l’absurde que √ 3 +√

2 n’est pas un nombre rationnel.

Supposons donc que √ 3 +√

2∈Q, c’est-`a-dire que

√3 +√ 2 = r

avecr ∈Q Ainsi √

3 =r−√ 2

i.e. 3 =r²+ 2−2r√

2 i.e. √

2 = r²−1

2r , qui est donc un rationnel. D’o`u contradiction.

Ainsi√ 3 +√

2 n’est pas rationnel.

1.2 Exercice n 2

• Montrer qu’une fonction f (d´efinie sur R) d´erivable et paire si et seulement si f⁰ est impaire.

Rappel :

• Soitf une fonction d´efinie surI, un ensemble centr´e en 0 (i.e.∀x∈I,−x∈I), alors :f paire ⇐⇒ ∀x∈I, f(−x) =f(x)

• Soitgune fonction d´efinie surI, un ensemble centr´e en 0 (i.e.∀x∈I,−x∈I), alors :f impaire⇐⇒ ∀x∈I, g(−x) =−g(x)

(=⇒) Montrons que si f d´erivable et paire, alors f⁰ est impaire.

On a ∀x ∈ I, f(−x) = f(x). Notons que x 7−→ f(−x) est la compos´ee de la fonction f et de la fonction x 7−→ −x. Ainsi, on peut d´eriver la fonction (compos´ee) qui se trouve dans le membre de gauche et celle qui se trouve dans le membre de droite. Donc, en d´erivant l’´egalit´e,

∀x∈I,−f⁰(−x) = f⁰(x)

Il vient quef⁰(−x) =−f⁰(x) pour tout x∈I, ainsi f⁰ est bien impaire.

(⇐=) Supposons f⁰ impaire. Alors∀x∈I, f⁰(−x) =−f⁰(x).

Remarque :Une fonction impaire d´efinie en 0 v´erifie f(0) = 0.

On a alors ∀x ∈ I,−f⁰(−x) = f⁰(x). Donc, on int`egre les deux membres, et on obtient

∃c∈R, f(−x) =f(x) +c

Or, f est d´efinie sur R, donc cette ´egalit´e est vraie en particulier en 0. c’est-

`a-dire f(−0) = f(0) +c, et donc, par la remarque pr´ec´edente, c = 0. On en conclut quef(−x) =f(x), et doncf est paire, ce que l’on voulait d´emontrer.

• A-t-on aussi : une fonctionf est d´erivable et impaire si et seulement sif⁰ est paire ? (=⇒) On a∀x∈I, f(−x) =−f(x). On d´erive membre `a membre, et on obtient

−f(−x) =−f⁰(x)

c’est-`a-diref⁰(−x) =f⁰(x), doncf est paire, ce que l’on voulait montrer.

(⇐=) On a ∀x∈I, f⁰(−x) =f⁰(x).

On int`egre membre `a membre : −f(−x) = f(x) +c

On veut −f(−x) = f(x), donc on veut montrer que c = 0, mais l’on n’a pas assez d’information. L’´equivalence serait vraie si on avait

f d´erivable et impaire ⇐⇒f⁰ paire etf(0) = 0

1.3 Exercice n

3

Montrer que la courbe d’´equationy = e^x

e^x+ 1 admet un centre de sym´etrie, `a d´eterminer.

On utilise la propri´et´e (que l’on comprend par un dessin) : Soit f une fonction et C_f sa repr´esentation graphique. Si f(a−x) +f(a+x)

2 = b, alors le point de coordonn´ees (a, b) est le centre de sym´etrie de C_f.

Dans le cadre de l’exercice, on consid`ere f :x7−→ e^x

e^x+ 1. On conjecture graphiquement que I

0,1 2

est le centre de sym´etrie de la courbe. Montrons-le grˆace `a la propri´et´e pr´ec´edente, en calculant f(0−x) +f(0 +x)

f(−x) +f(x) = e^−x

e^−x+ 1 + e^x e^x+ 1

= 1 e^x 1

e^x + 1 + e^x e^x+ 1

= 1 e^x 1 +e^x

e^x

+ e^x e^x+ 1

= 1

1 +e^x + e^x e^x+ 1

= 1

= 2×1 2 Donc f(−x) +f(x)

2 = 1

2. D’o`u I

0,1 2

est bien le centre de sym´etrie deC_f.

1.4 Exercice n 4

D´eterminer lim_x→+∞√³

x³+x²−x.

En introduction, cherchons la limite de lim_x→+∞√

x²+x−x. Notons

f(x) =√

x²+x−x= (x²+x)−x²

√x²+x+x = x

√x²+x+x Pour x >0 (car on cherche la limite en +∞),

f(x) = x

s

x²

1 + 1 x

+x

= x

√x²

s

1 + 1 x +x

= x

x

s

1 + 1 x +x

= 1

s

1 + 1 x + 1 Ainsi lim_x→+∞√

x²+x−x= 1 2.

Int´eressons-nous maintenant `a lim_x→+∞√³

x³+x²−x, et appliquons la mˆeme m´ethode : Notons a=√³

x³+x² etb =x. Alors a³ =x³+x² et b³ =x³.

On a d´efini laquantit´e conjugu´eeen utilisant l’identit´e remarquablea²−b² = (a−b) (a+b), c’est-`a-dire a−b= a²−b²

a+b .

Ici, on utilise l’identit´e remarquable : a³ −b³ = (a−b) (a²+ab+b²).

Donc a−b= a³−b³ a²+ab+b². En appliquant la remarque, on a

√3

x³+x²−x= x³+x²−x³

√3

x³+x²²+x³√³

x³+x²+x²

= x²

(x³+x²)²³ +x(x³+x²)¹³ +x² Au d´enominateur, on a donc

• (x³+x²)²³ =x³

1 + 1 x

²₃

= (x³)²³ 1 + 1 x

²₃

=x²

1 + 1 x

²₃

.

• (x³+x²)¹³ =x³

1 + 1 x

¹₃

= (x³)¹³ 1 + 1 x

¹₃

=x²

1 + 1 x

¹₃

. Ainsi

√3

x³+x²−x= x² x²

1 + 1 x

²₃

+x²

1 + 1 x

¹₃

+x²

= 1

1 + 1 x

²₃

+1 + 1 x

¹₃

+ 1 Il vient que la limite cherch´ee est 1

3.

1.5 Exercice n

5

Pour tout entier p > 1, on d´efinit l’entier 4. . .48. . .89, compos´e de p chiffres 4, p−1 chiffres 8 et d’un chiffre 9. Montrer que ce nombre est toujours un carr´e parfait.

On traduit l’´enonc´e par :

n = 9 + 9 (10 + 10²+. . .+ 10^p−1) + 4 (10^p+. . .+ 10^2p−1)

= 9 + 80× 10^p−1−1

10−1 + 4×10^p×(1 +. . .+ 10^p−1)

= 9 + 80× 10^p−1−1

10−1 + 4×10^p× 10^p−1 10−1

n = 1

9(81 + 80 (10^p−1−1) + 4×10^p(10^p−1))

= 1

9(81−80×10^p−1−80 + 4×10^2p−4×10^p)

= 1

9(1−8×10^p+ 4×10^2p−4×10^p)

= 1

9(4×10^2p+ 4×10^p+ 1)

= 1

3(2×10^p + 1)² Ainsin est le carr´e d’un nombre p= 1

3(2×10^p+ 1)∈Q. Montrons qu’en faitp∈N, en montrant que 2×10^p+ 1 est divisible par 3.

On a 2×10^p+ 1 ≡ 2×1^p+ 1 [3]

≡ 2 + 1 [3]

≡ 0 [3]

D’o`u 2×10^p+ 1 est divisible par 3, et donc 1

3(2×10^p + 1) ∈ N, c’est-`a-dire p ∈ N, et donc n est bien le carr´e d’un entier.

1.6 Exercice n 6

Pour tout r´eel a∈]0, π[, d´eterminer la forme alg´ebrique de 1 +e^ia 1−e^ia. Transformation de e^iα +e^iβ :

On a

z =e^iα +e^iβ =eⁱ(^α+β2 )eⁱ(^α−α+β2 ) +eⁱ(^β−α+β2 )=eⁱ(^α+β2 )eⁱ(^α−β2 ) +e⁻ⁱ(^α−β2 ) D’apr`es la formule d’Euler, on obtient z =eⁱ(^α+β2 )2 cos α−β

2

!

. Ainsie^iα+e^iβ = 2 cos α−β

2

!

eⁱ(^α+β2 ).

Pour β = 0, on obtiente^iα+ 1 = 2 cosα 2

e^iα2.

On en conclut que e^iα−1 =e^iα2 e^iα2 −e^−iα2. Or, par la formule d’Euler, on a e^iα−1 = 2isinα

2

Donc e^iα−1 = 2isinα 2

e^iα2.

D’o`u z = e^iα+ 1

−e^iα+ 1 = cosα 2

−isinα 2

=icotα 2

, o`u cot (x) = cosx sinx.

1.7 Exercice n

7

La fonction tangente, d´efinie sur −π 2,π

2

, est bijective, et sa fonction r´eciproque est not´ee arctan.

a) Que vaut cos (arctan (x)) pour tout r´eel x?

On s’int´eresse `a y= cos (arctanx), et on note a= arctanx. a est donc le nombre r´eel tel que x= tana.

Ainsix= tana et y= cosa. Or, 1 + tan² = 1

cos². Donc 1 +x² = 1 y². Donc y² = 1

1 +x², c’est-`a-dire cos²(arctan (x)) = 1 1 +x². Or, arctan (x)∈

−π 2,π

2

et cos (x)>0 sur cet intervalle, d’o`u y= √ 1 1 +x².

b) Montrer que, pour toutx∈

−π 2,π

2

,

Z tanx 0

1

1 +t² dt=x Notons h la fonction d´efinie par

h(x) =^{Z x}

0

1 1 +t² dt Notons

f(x) = h(tan (x)) =^{Z tanx}

0

1 1 +t² dt

f est la compos´ee de la fonction h et de la fonction tan, donc f est d´erivable sur

−π 2,π

2

. Ainsi, pour toutx∈I, on a

f⁰(x) = h⁰(tanx)×tan⁰(x) Or, h⁰(x) = 1

1 +x², et donc

f⁰(x) = 1

1 + tan²(x)×1 + tan²(x)= 1

Donc f(x) = x+c, avec c une constante r´eelle. Or, 0 +c= f(0) = h(tan 0) = 0.

Doncc= 0.

Ainsi, pour tout x∈

−π 2,π

2

, on a

h(tanx) = x ce que l’on voulait d´emontrer.

c) Par ailleurs, on montre que arctan est d´erivable et, pour tout x∈R, arctan⁰(x) = 1

1 +x² D´eterminer, pour x∈R\ {0}, arctan (x) + arctan1

x

.

Posons f(x) = arctan (x) + arctan1 x

. On d´erive f sur chaque intervalle ]−∞,0[

et ]0,+∞[ :

f⁰(x) = 1

1 +x² + 1 1 +¹_x² ×

− 1 x²

= 1

1 +x² − 1

x²+ 1 = 0 Ainsif est constante sur ]−∞,0[ et sur ]0,+∞[.

Pour x= 1, on a tan (1) = arctan1 1

= π

4. Donc f(x) = π

2 sur ]0,+∞[.

Pour x=−1, on a tan (−1) = arctan 1

−1

=−π

4. Donc f(x) =−π

2 sur ]−∞,0[.

d) D´eterminer une primitive de la fonction arctan.

Remarque de notation : Pour indiquer une primitive d’une fonction f, il est courant de noter ^Z f(x) dx. On appelle cela une int´egrale ind´efinie . Nous uti- liserons cette notation dans la correction de cet exercice.

Rappel : int´egration par partiesSoient u et v deux fonctions d´erivables sur I.

Alors Z

u⁰v = [uv]−

Z

uv⁰

Pour d´eterminer une primitive de arctan, on note arctan = 1×arctan, et on int`egre par parties, en posantu⁰(x) = 1 et v(x) = arctan (x). Alorsu(x) = xetv⁰(x) = 1

x². D’apr`es la formule pr´ec´edente

Z arctan (x) dx = ^Z 1×arctan (x) dx

= [xarctan (x)]−

Z x 1 +x² dx

= [xarctan (x)]−

Z 1

2× 2x 1 +x² dx

= [xarctan (x)]−

1

2ln (1 +x²) car 1 +x² >0 Donc une primitive de la fonction arctan est la fonction

x7−→xarctan (x)− 1

2lnx²+ 1

1.8 Exercice n

8

Soient a et b deux r´eels tels que a < b. Calculer ^{Z b}

a

q(x−a) (b−x) dx.

Remarquons que la courbe d’´equation y=^q(x−a) (b−x) peut se traduire par y>0 et y² =−x²+ (a+b)x−ab,

c’est-`a-dire

y>0 et y² +x²−(a+b)x+ab= 0 c’est-`a-dire

y>0 et y²+ x−a+b 2

!2

− a²+b²+ 2ab

4 +ab= 0, c’est-`a-dire

y>0 et y²+ x−a+b 2

!2

= a²+b²+ 2ab

4 − 4ab

4 ,

c’est-`a-dire

y>0 et y²+ x− a+b 2

!2

= a² +b²−2ab

4 ,

c’est-`a-dire

y >0 et y²+ x− a+b 2

!2

= a−b 2

!2

,

Donc la courbe est un demi-cercle de centre Ω a+b 2 ,0

!

et de rayon R = a−b 2 . Ainsi^{Z b}

a (x−a) (b−x) dx est l’aire du demi-cercle pr´ec´edent. Ainsi :

Z b

a (x−a) (b−x) dx= 1 2

πR²= 1

2 π(b−a)² 4

!

. Donc

Z b

a (x−a) (b−x) dx= π(b−a)² 8

1.9 Exercice n

9 : in´ egalit´ es de Cauchy-Schwarz pour les sommes et in´ egalit´ e de Minkowski

On consid`ere les deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N.

• Montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :

n

X

k=0

(a_kb_k)

!2

6

n

X

k=1

(a_k)²×

n

X

k=0

(b_k)²

— Si pour tout k∈J1, nK, on ab_k = 0, alors l’in´egalit´e est vraie.

— Supposons qu’il existe un entier k ∈ J1, nK tel que b_k 6= 0. Notons, pour tout x∈R,

f(x) = ^Xn

k=1

(ak+xbk)² On d´eveloppe, et on obtient

f(x) = ^Xn

k=1

b²_k

!

x²+ 2 ^Xn

k=1

a_kb_k

!

x+^Xn

k=1

a²_k

Comme au moins l’un des b_k n’est pas nul, on a

n

X

k=1

b²_k >0, et donc, en particulier ^Xn

k=1

b²_k 6= 0.

Ainsif est un trinˆome du second degr´e, de signe constant (strictement positif).

On en conclut que ∆60, c’est-`a-dire, en calculant ∆, que 4 ^Xn

k=1

a_kb_k

!2

−4 ^Xn

k=1

a²_k

! _n X

k=1

b²_k

!

60

c’est-`a-dire, en divisant chaque membre de l’in´egalit´e par 4,

n

X

k=1

a_kb_k

!2

−

n

X

k=1

a²_k

! _n X

k=1

b²_k

!

60

d’o`u le r´esultat attendu.

• En d´eduire l’in´egalit´e de Minkowski :

v u u t

n

X

k=0

(a_k+b_k)6

v u u t

n

X

k=1

(a_k)² +

v u u t

n

X

k=0

(b_k)²

On va utiliser l’´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour d´emontrer cette nouvelle in´egalit´e. On reformule l’in´egalit´e pr´ec´edente en

n

X

k=1

akbk

6

v u u t

n

X

k=1

a²_k

v u u t

n

X

k=1

b²_k On a

n

X

k=0

(a_k+b_k)² = ^Xn

k=1

a²_k+ 2^Xn

k=1

a_kb_k+^Xn

k=1

b²_k

6

n

X

k=1

a²_k+ 2

n

X

k=1

a_kb_k

+^Xn

k=1

b²_k

6

n

X

k=1

a²_k+ 2

v u u t

n

X

k=1

a²_k

v u u t

n

X

k=1

b²_k+^Xn

k=1

b²_k d’apr`es l’in´egalit´e pr´ec´edente

6



 v u u t

n

X

k=1

a²_k+

v u u t

n

X

k=1

b²_k





2

d’apr`es l’in´egalit´e pr´ec´edente

On en conclut que

v u u t

n

X

k=1

(a_k+b_k)² 6

v u u t

n

X

k=1

a²_k+

v u u t

n

X

k=1

b²_k, ce que l’on voulait d´emontrer.

1.10 Exercice n

10

On consid`ere la suite (u_n)n∈N d´efinie par :

u₀ = 2, u₁ = 7 et, pour tout entier n positif, u_n+2 = 7u_n+1−12u_n.

´Etudier les suites v = (u_n+1−3u_n) et w= (u_n+1−4u_n) pour d´eterminer u_n en fonction den.

• On a, pour tout n >0,

v_n+1 =u_n+2−3u_n+1 = 7u_n+1−12u_n−3u_n+1 = 4u_n+1−12u_n = 4 (u_n+1−3u_n) = 4v_n Donc v est la suite g´eom´etrique de raison 4, et de premier terme

v₀ =u₁−3u₀ = 7−6 = 1 Ainsiv_n= 1×4ⁿ, c’est-`a-direv_n= 4ⁿ.

• On a, pour tout n >0,

w_n+1 =u_n+2−4u_n+1 = 7u_n+1−12u_n−4u_n+1 = 3u_n+1−12u_n = 3 (u_n+1−4u_n) = 3w_n Donc west la suite g´eom´etrique de raison 3, et de premier terme

w0 =u1−4u0 = 7−8 =−1 Ainsiw_n=−1×3ⁿ, c’est-`a-direw_n=−3ⁿ.

En remarquant queu_n=u_n+1−3u_n−u_n+1+4u_n, c’est-`a-direu_n =v_n−w_n, on en conclut que

u_n = 4ⁿ+ 3ⁿ