DM 2 TSTI2D2

Nom : . . . .

Prénom : . . . . Devoir n

05

Oct. 2020 . . ./. . .

DM 02

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.

Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.

Exercice 1

a) h(x) = 1 (x+ 1)²

On poseu=x+ 1, doncu⁰= 1, ainsih= u⁰

u², donc une primitive dehestH= 1 u

Une primitive de la fonctionh(x) = 1

(x+ 1)² définie surI=]−1; +∞[ est la fonctionHdéfinie parH(x) =− 1 x+ 1 b) h(t) = 2 cos

2t−^π

3

On poseu= 2t−^π

3, doncu⁰= 2, ainsih=u⁰cos(u), donc une primitive dehestH= sin(u) Une primitive de la fonctionh(t) = 2 cos

2t−^π

3

définie surI=Rest la fonctionHdéfinie parH(t) = sin 2t−^π

3

c) h(x) = 1 (2−5x)³

On pose u= 2−5x, donc u⁰ =−5, ainsi h = u⁰

−5× 1 u³ =−1

5 × u⁰ u³ =−1

5×u⁰u⁻³, donc une primitive deh est H=−1

5× u⁻³⁺¹

−3 + 1=−1 5×u⁻²

−2 = 1 10u²

Une primitive de la fonctionh(x) = 1

(2−5x)³ définie surI= 2

5; +∞

est la fonctionHdéfinie parH(x) = 1 10(2−5x)² d) h(x) = 1

(x+ 1)²− 1 x²

En utilisant la question a) on obtient :

Une primitive de la fonctionh(x) = 1 (x+ 1)²− 1

x² définie surI=]−1; 0[ est la fonctionHdéfinie parH(x) =− 1 x+ 1+1

x

1

Exercice 2

1 On ag(x) =−2 cos(4x) + 3 sin(4x).

En utilisant les deux formules de dérivation :

(cos(u))⁰=−u⁰sin(u) et (sin(u))⁰=−u⁰cos(u) on obtient :

g⁰(x) =−2×(−4 sin(4x)) + 3×(4 cos(4x))

= 8 sin(4x) + 12 cos(4x) g⁰(x) = 8 sin(4x) + 12 cos(4x)

2 a. On part deg⁰(x) = 8 sin(4x) + 12 cos(4x), on dérive à nouveau et on obtient : g”(x) = 8×(4 cos(4x)) + 12×(−4 sin(4x))

= 32 cos(4x)−48 sin(4x) g”(x) = 32 cos(4x)−48 sin(4x) b.

g”(x) + 16g(x) = 32 cos(4x)−48 sin(4x) + 16 (−2 cos(4x) + 3 sin(4x))

= 32 cos(4x)−48 sin(4x)−32 cos(4x) + 48 sin(4x)

= 0

Ainsi pour tout réelxon ag”(x)+16g(x), on dit que la fonctiongest une solution de l’équation différentielle y” + 16y= 0.

2

Exercice 3

1 Quelques rappels ?

Définition 1

Une quantité passe la valeur initialeV_i à la valeur finale V_f. La variation relative de cette quantité est V_f −V_i

Vi

.

Cette variation relative s’appelle aussitaux d’évolution(nombre sans unité) On poset=Vf −V i

V_i (taux d’évolution).

On a alorstV_i=V_f −V_idoncV_i+tV_i=V_f soitV_f =V_i+tV_i= (1 +t)V_i.

Propriété 1

Le nombreC= 1 +ts’appelle lecoefficient multiplicateur.

Sitest négatif,C <1 et la quantité diminue.

Sitest positif,C >1 et la quantité augmente.

Ici on procède à une baisse de 45%. On ad₀ = 100, après la traversée d’une plaque le son perd 45% e son intensité, ce qui revient à la mutiplier par 1− 45

100= 1−0,45 = 0,55 - d₁= 0,55×d₀= 0,55×100 = 55

- d₂= 0,55×d₁= 0,55×55 = 30,25 - d₃= 0,55×d₂= 0,55×30,25≈16,64

d1= 55, d2≈30 etd3≈17.

2 d_n+1est l’intensité après le passage de lan+ 1^ièmeplaque, donc : d_n+1 =d_n−0,45d_n

=dn(1−0,45)

= 0,55d_n 3

d_n+1= 0,55d_n, la suite (d_n) est donc géométrique de raison 0,55 de premier termed₀= 100.

3 Comme (dn) est géométrique,dn=qⁿ×d0= 0,55ⁿ×100

d_n= 100×0,55ⁿ 4 Le niveau d’intensité sonore après la taversée de 9 plaques vaut :

d₉ = 0,55⁹×100

≈0,46

Le niveau d’intensité sonore après la taversée de 9 plaques vaut environ 0,46 dB.

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