G215 - Les faux jumeaux - Enonc´e
Deux probl`emes classiques `a la recherche de faux jumeaux :
– Trouver deux d´es dont les six faces parfaitement ´equilibr´ees comportent des num´eros strictement positifs autres que la s´erie 1, 2, 3, 4, 5, 6 et dont la somme ob´eit `a la mˆeme loi de probabilit´es que celle des d´es ordinaires.
– Les nombres entiers de 1 `a 9 ont pour somme 45 et pour produit 9 !=362880. Trouver neuf autres nombres compris entre 1 et 9, n´ecessairement avec r´ep´etition, tels que leur somme soit aussi ´egale `a 45 et leur produit `a 9 !
G215 - Les faux jumeaux - Corrig´e
Question 1 :Supposons que le d´e `a 6 faces soit constitu´e des entiers naturels suivants :a < b < c < d < e < f. La somme des faces de deux d´es traditionnels ob´eit `a la loi de probabilit´e illustr´ee par la table ci-dessous :
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
La caract´eristique de cette table est que chaque diagonale ”montante” est constitu´ee du mˆeme entier qui est diff´erent pour chacune des diagonales.
La table pour notre nouveau d´e doit donc v´erifier cette propri´et´e :
+ a b c d e f
a 2a a+b a+c a+d a+e a+f b a+b 2b b+c b+d b+e b+f c a+c b+c 2c c+d c+e c+f d a+d b+d c+d 2d d+e d+f e a+e b+e c+e d+e 2e e+f f a+f b+f c+f d+f e+f 2f
Les diagonales ”montantes” peuvent ˆetre 2 `a 2 distinctes cara, b, c, d, e, f le sont donc 2a,2b,2c,2d,2e,2f
´egalement. On impose donc : 2b=a+c, 2c=a+e=b+d, 2d=b+f =c+eet 2c=d+f d’o`u : c= 2b−a,d= 3b−2a,e= 4b−3aetf = 5b−4aet le choix deaetb est libre.
Par exemple, en prenant a= 1 et b = 3, cela nous donne le d´e 1−3−5−7−9−11 qui v´erifie bien la propri´et´e voulue.
Question 2 : Remarquons tout d’abord que 3×6×8 = 4×4×9 et 3 + 6 + 8 = 4 + 4 + 9.
On peut donc proposer : 1×2×4×4×4×5×7×9×9. On a : 1 + 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 7 + 9 + 9 = 45 et 1×2×4×4×4×5×7×9×9 = 27×34×5×7 = 9!
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