D135 La ronde des triplets pythagoriciens [**** à la main]

D135 La ronde des triplets pythagoriciens [**** à la main]

Solution

Déterminons pour commencer les coordonnées du point A . Le cercle de centre C et de ₁ diamètre unité est tangent à l’axe des x au point T d’abscisse 1/2 et l’on a la relation bien connue OT² OA₁.OQ = 1/4 avec OQ = 5/2.

On en déduit OA₁/OQOT²/OQ² 1/5 et les coordonnées de A sont alors 1/5 et 1/10. Si ₁ on trace les parallèles aux axes Ox et Oy passant par A , elles coupent le cercle aux points ₁

1 1et B

C (voir figure supra). Les corrdonnées du point C sont 1 – 1/5 = 4/5 et 1/10 et celles de ₁ B sont 1/5 et 1 – 1/10 = 9/10. On observe alors que 1 A₁C₁et A₁B₁ valent respectivement 3/5 et 4/5. A étant le sommet de l’angle droit du triangle rectangle₁ A₁B₁C₁, les côtés de ce triangle sont donc égaux à 3/5, 4/5 et 1 et on reconnaît les fractions pythagoriciennes obtenues à partir du plus petit des triplets pythagoriciens (3,4,5).

Poursuivons avec le point A . Comme précédemment on peut écrire ₂ )

1/(4OB /OB

OP /OB

OA_{2 1} ² ₁² ₁² avec OB =17/20. D’où ₁² OA₂/OB₁=5/17 et les coordonnées de A sont alors 1/17 et 9/34. Le point ₂ B qui est à l’intersection du cercle et de la parallèle à ₂ l’axe des x passant par A a pour coordonnées 16/17 et 9/34 tandis que le point ₂ C qui est à ₂ l’intersection du cercle et de la parallèle à l’axe des y passant par A a pour coordonnées 1/7 ₂ et 25/34. Les côtés du triangle rectangle A₂B₂C₂ ont alors pour dimensions 15/17, 8/17 et 1.

On retrouve les fractions pythagoriciennes associées à un deuxième triplet pythagoricien bien connu (15,8,17).

Le tracé des cordes A_2nB_2n et A_2n1B_2n1 permet donc de générer une suite infinie de triplets pythagoriciens qui ont tous pour origine le triplet (3,4,5).

Pour obtenir la formule générale qui donne les coordonnées de A en fonction de celles de _k A , on pose tout d’abord 1 a = 3, ₁ b = 4 et ₁ c = 5. Les coordonnées de ₁ A sont alors: ₁

1 1 1

1 (c a )/2c

x   et y₁(c₁b₁)/2c₁. Celles de B sont ₁ (c₁a₁)/2c₁ et (c₁b₁)/2c₁, d’où

2

OB =1 (2a₁2b₁3c₁)/4c₁. On en déduit les coordonnées de A qui sont respectivement ₂ x ₂

= (c₁a₁)/(4a₁4b₁6c₁) et y = ₂ (c₁b₁)/(4a₁4b₁6c₁).

En posant a₂ a₁2b₁2c₁ puis b₂2a₁b₁2c₁et enfin c₂2a₁2b₁3c₁, on obtient un triplet pythagoricien (a₂,b₂,c₂)tel que a²₂b²₂ c²₂ qui permet d’exprimer x et ₂

y sous la forme 2 x₂(c₂a₂)/2c₂ et y₂(c₂b₂)/2c₂. En utilisant la notation matricielle

























3 2 2

2 1 2

2 2 1

U ,



















1 1 1 1

c b a

P et



















2 2 2 2

c b a

P , on en déduit

P =U2 P . ₁

De la même manière, en se fondant sur les coordonnées de B puis sur la longueur du ₂ segment OB , on peut calculer les coordonnées de ₂ A à partir de celles de ₃ A et en posant ₂



















3 2 - 2

2 1 - 2

2 2 - 1

V et



















3 3 3 3

c b a

P ,on obtient la relation matricielle P =V₃ P =VU₂ P . En posant ₁





















9 8 4 -

8 7 4 -

4 4 1 - VU

W , on a la relation P = W₃ P . ₁

La formulation générale est alors la suivante : P_2k UW^k1P₁ et P_2k1 W^kP₁. A partir des triplets pythagoriciens (a_2k,b_2k,c_2k)et (a_2k1,b_2k1,c_2k1), il est alors facile de calculer les coordonnées de A et de _2k A_2k1grâce aux formules x_2k(c_2ka_2k)/2c_2k et

2k 2k 2k

2k (c b )/2c

y   d’une part, x_2k1(c_2k1a_2k1)/2c_2k1 et

1 2k 1 2k 1 2k 1

2k (c b )/2c

y _  _  _{ } d’autre part.

Le tableau ci-après donne les valeurs des triplets pythagoriciens pour les 10 premiers points

10 1àA

A et l’on profite de l’occasion pour faire apparaître les coordonnées x et y de ces points avec 4 décimales significatives:

Quand k s’accroît, on observe que les abscisses des points d’indice impair convergent très vite vers 1/4 et que les ordonnées convergent vers (2 3)/4=0,06698729… valeur qui s’obtient aisément en reportant l’abscisse 1/4 dans l’équation du cercle de centre C :

0 1/4 y x y

x² ²    . Quant aux points d’indice pair, les abscisses et ordonnées convergent vers les valeurs symétriques des précédentes par rapport à la première bissectrice (2 3)/4 et 1/4.

Vérifions que le point (1/4, (2 3)/4) est bien le point limite des points A_2k1.Les x_2k1 constituent une suite croissante bornée et les y_2k1 une suite décroissante toujours positive.

Soit ulim[a_2k1/c_2k1]et vlim[b_2k1/c_2k1].Si ces limites u et v existent, elle obéissent aux deux équations tirées de la relation P_2k1W P_2k-1 : u = (-u + 4v + 4) / (-4u + 8v + 9) et v = (- 4 + 7v + 8) / ( -4v + 8v + 9). La première des deux équations s’exprime sous la forme (2u- 1).(u + 2v – 2)=0u = 1/2 et en portant cette valeur de u dans la deuxième équation on obtient 4v² 3 soit v 3/2. D’où lim[(c_2k1-a_2k1)/2c_2k1] =(1-1/2)/2=1/4 et

] )/2c b

-

lim[(c_{2k1 2k1 2k1} =(2 3)/4. Le raisonnement est du même type pour les points A . 2k