D132 La ronde des cosinus et des sinus[*** à la main]
Donner une solution purement géométrique des deux égalités suivantes : sin7° + cos11° - cos25° + sin29° - sin43° = 0
cos3° + sin7° + sin13° - cos17° - cos23° - sin27° -sin33° +cos37° +cos43° = 0 Solution
Comme le suggère le titre de l’exercice, la première relation peut s’exprimer uniquement avec des cosinus. Pour ce faire, il suffit d’avoir en mémoire les relations trigonométriques
suivantes :
cos(90°- a ) = sin(a) sin(90°- a ) = cos(a) cos(90° + a) = -sin(a) sin(90°+a) = cos(a)
cos(180° - a) = - cos(a) sin(180° - a ) = sin(a) cos(180°+a) = - cos(a) sin(180+a) =- sin(a)
cos(270° - a) = - sin(a) sin(270°- a) = - cos(a) cos(270°+a) =- sin(a) sin(270°+a)
= - cos(a)
On en déduit sin7°= cos83°, -cos25° = cos155°, sin29°= cos299°, -sin43° = cos227°
Le membre de gauche de la première relation s’écrit alors : cos11° + cos83° + cos155° + cos227° + cos299° et l’on observe que les cinq angles obéissent à une progression arithmétique de raison 72° = 360°/5.
Dès lors il est naturel de représenter un pentagone régulier ABCDE tel que le côté AB fasse un angle u=11° avec l’axe horizontal x’Ax. Comme les angles ABC, BCA, CDE,… du pentagone sont tous égaux à 108°, on vérifie aisément que les angles de 83°, 155°, 227° et 299° sont représentés par les arcs marqués en rouge aux sommets B,C,D et E.
Les cosinus des cinq angles 11°, 83°, 155°, 227° et 299° sont alors représentés par les segments horizontaux A’B, B’C, C’D, D’E et E’A. Quand la mesure du cosinus est positive les segments sont représentés en bleu (A’B, B’C, E’A) et quand elle est négative par la couleur mauve (C’D et D’E). On voit immédiatement que la somme des segments bleus est égale à celle des segments mauves. La somme des cosinus est donc nulle.
Le résultat peut être généralisé avec n’importe quel angle u. Il peut également s’obtenir avec des sommes de sinus telles que sin7° + sin79° + sin151° + sin223° + sin295° = 0. Enfin la somme de cosinus ( ou de sinus) peut porter sur n termes avec une progression arithmétique des angles de raison 360°/n à laquelle on associe un polygone régulier de n côtés. On a la relation générale :
1 n i
0 i
0 360i/n)
cos(u avec u angle initial quelconque exprimé en degrés.
La démonstration de la deuxième égalité devient alors immédiate. En effet le membre de gauche s’écrit cos3° + cos43° + cos123° + cos163° + cos203° + cos243° + cos283° + cos323°. La raison de la progression arithmétique est de 40°. Le polygone associé est un ennéagone régulier et l’on a i 8
0 i
0 40i)
cos(3 .
