A455 Le même reste pour des triplets [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Il s’agit de divisions euclidiennes donc le reste r est strictement inférieur au diviseur.
Etant donnée la symétrie du problème, on peut légitimement supposer que r<a<=b<=c.
Il existe donc m, n et p entiers tels que ab = mc + r, ca = nb + r et bc = pa + r, avec r = 1 ou 2.
ab = mc + r > mc >= ma, d’où, puisque a est non nul, b > m.
En multipliant la première égalité par a et en substituant l’expression de « ca » issue de la seconde égalité, nous obtenons a²b = mca + ra = mnb + mr + ra.
D’où 0 < b(a²-mn) = r(a+m) < 2br, soit, puisque b est non nul, 0 < a² - mn < 2r entier.
De la même manière et symétriquement, nous obtenons c(a²-mn) = r(a+n)
1/ Avec r=1, nous avons donc 0 < a² - mn < 2, d’où a² - mn = 1, c'est-à-dire mn = -1 mod a D’où b = a+m et c = a+n, c'est-à-dire en utilisant bc = pa + r, mn = 1 mod a.
Donc a = 2 et mn = a² - 1 = 3.
b<=c implique que m<=n, d’où m=1 et n=3, c'est-à-dire b = 3 et c = 5.
D’où (a, b, c) = (2, 3, 5)
2/ Avec r=2, nous avons donc 0 < a² - mn < 4, d’où a² - mn = 1, 2 ou 3 (b<=c => m<=n)
* a² - mn = 1, c'est-à-dire mn = -1 mod a
D’où b = 2(a+m) et c = 2(a+n), c'est-à-dire en utilisant bc = pa + r, 4mn = 2 mod a.
** a = 3, d’où mn = a² - 1 = 8.
D’où (m, n) = (1, 8) ou (2, 4), soit (b, c) = (8, 22) ou (10, 14)
** a = 6, d’où mn = a² - 1 = 35.
D’où (m, n) = (1, 35) ou (5, 7), soit (b, c) = (14, 82) ou (22, 26)
* a² - mn = 2, c'est-à-dire mn = -2 mod a
D’où b = a+m et c = a+n, c'est-à-dire en utilisant bc = pa + r, mn = 2 mod a.
Donc a = 4 et mn = a² - 2 = 14.
D’où (m, n) = (1, 14) ou (2, 7), soit (b, c) = (5, 18) ou (6, 11)
* a² - mn = 3, c'est-à-dire mn = -3 mod a
D’où b = (2/3)(a+m) et c = (2/3)(a+n), c'est-à-dire en utilisant bc = pa + r, 4mn = 18 mod a.
En utilisant le fait que a<=b => a<=2m, ce sous-cas ne fournit aucune solution.
a mn m n commentaire 3 6 2 3 b non entier
5 22 pas de décomposition 3<=m<=n 6 33 3 11 c non entier
10 97 pas de décomposition 5<=m<=n 15 222 pas de décomposition 8<=m<=n 30 897 23 39 b non entier
D’où (a, b, c) = (3, 8, 22), (3, 10, 14), (4, 5, 18), (4, 6, 11), (6, 14, 82) ou (6, 22, 26)
