A455 : Le même reste pour des triplets
En désignant par k l’entier qui vaut 1 pour la première question et 2 pour la seconde, nous avons bc-k divisible par a, ca-k par b et ab-k par c. Donc (bc-k)(ca-k)(ab-k)=a2b2c2-kabc(a+b+c)+k2(bc+ca+ab)-k3 est divisible par abc, donc k2(bc+ca+ab-k) est divisible par abc. Il s’agit là d’une condition nécessaire, mais pas obligatoirement suffisante : il faudra s’assurer que les nombres obtenus vérifient les conditions initiales.
Les entiers a, b, c sont strictement positifs et distincts., et l’on peut supposer c<b<a.
Dans le cas k=1, bc+ca+ab-1 est divisible par abc.
Or 0<bc+ca+ab-1<3ab-1<3ab : on ne peut donc avoir que c=2, puisque si c≥3, abc serait supérieur à un nombre non nul qu’il doit diviser.
Dans ce cas, 2b-1 est divisible par a, et puisque b<a, a=2b-1.
Donc bc+ca+ab-1=2(3b-1)+b(2b-1)-1=2b2+5b-3 est divisible par 4b2-2b.
On a 0<2b2+5b-3<2(4b2-2b), puisque le trinôme 6b2-9b+3 est toujours positif ; donc 2b2+5b-3=4b2-2b et 2b2-7b+3=0 qui a b=3 pour seule racine entière. On vérifie qu’alors a=5 et que le triplet convient.
Dans le cas k=1, le seul triplet répondant à la question est donc (5, 3, 2)
De même pour k=2, 4(bc+ca+ab-2) est divisible par abc.
Or 4(bc+ca+ab-2)<12ab-2 ; donc 3≤c≤11. 4(bc+ca+ab-2)=n*abc . On a donc (na-4)bc-4(b+c)a+8=0 avec bc=pa+2 (où p<c), soit (na-4)(pa+2)-4a((pa+2)/c+c)+8=0 ou encore
(nc-4)pa2+(2(nc-4)-4c(p+c))a=0 donc a=4c(p+c)/p(nc-4)–2/p puisque a≠0 Si 6≤c≤11, 12ab-2<2abc, on ne peut avoir que n=1 ; si c=4 ou 5, on peut avoir aussi n=2, et pour c=3, également n=3.
En parcourant les 65 valeurs possibles du triplet n, c et p, on trouve 11 solutions entières, dont 6 seulement vérifient les conditions initiales : à savoir les triplets :
(3, 8,22) (3, 10, 14) (4, 5, 18) (4, 6, 11) (6, 14, 82) et (6, 22, 26).
