Université de Paris
UFR de mathématiques
Licences de Physique, Chimie, CUPGE, DLPC, EPC, ST L1 – Interactions Mathématiques-Physique
Feuille d’exercices n
o3
Fonctions trigonométriques et fonctions trigonométriques réciproques
1 Propriétés des fonctions cosinus, sinus et tangente
1.1 Définition, parité, périodicité et extrema
Vous avez revu dans la partie “Physique” de cet enseignement ce qu’est le cercle trigonométrique et comment on associe à un angleα son cosinus, son sinus et sa tangente. Nous allons ici revenir sur les propriétés desfonctions trigonométriques. Ces fonctions sont très courantes en Physique, on les rencontre notamment en électricité, en mécanique (par exemple : mouvements circulaires, oscillations), en optique géométrique, et pour tous les phénomènes ondulatoires (électromagnétisme, acoustique, corde vibrante).
Proposition. Les applications cos :R→Ret sin :R→Rsatisfont :
1. −1≤cosx≤1 et−1≤sinx≤1 pour tout x∈R.
2. La fonction cos est paire et 2πpériodique.
3. La fonction sin est impaire et 2πpériodique.
4. cos2x+ sin2x= 1 pour toutx∈R.
5. Pour tousx, y∈R, on a : cosy= cosx ⇐⇒ y≡x[2π] ou y≡ −x[2π] siny= sinx ⇐⇒ y≡x[2π] ou y≡π−x[2π];
.
Définition-Proposition.
1. La fonction tan = sin
cos est définie sur R\(π
2 +πZ), où π
2 +πZ={π
2 +kπ; k∈Z}. La fonction tan :R\(π
2 +πZ) → R est impaire etπ-périodique.
2. Pour tousx, ydansR\(π
2 +πZ), on a : tany= tanx ⇐⇒ y≡x[π].
Exercice 1. Associer chaque graphe à la fonction trigonométrique correspondante, et donner les pro- priétés de la fonction que vous pouvez lire graphiquement (parité, périodicité, extrema).
1. x7→cos(x)
2. x7→sin(x)
3. x7→tan(x)
4. x7→sin(3x)
5. x7→ −2 cos(x)
6. x7→tan(x−1)
7. x7→cos(−2 3x) 8. x7→4 sin(−1
2x)
1.2 Dérivées des fonctions trigonométriques
Théorème. Les fonctions sinus, cosinus et tangentes sont continues et dérivables sur leur ensemble de définition. De plus :
• pour tout réelx:
(cos)0x=−sinx et (sin)0x= cosx
• pour toutx∈R\ {π
2 +kπ; k∈Z} :
(tan)0x= 1 + tan2x= 1 cos2x
Exercice 3. Pour chacune des fonctions ci-dessous, dire sur quel ensemble elle est définie, sur quel ensemble elle est dérivable, et calculer sa dérivée sur cet ensemble :
1. f(x) = cos(x2+ 1) 2. f(x) = sin( x+ 2
3x−1)
3. f(x) = cos(√ 2x−5) 4. f(x) = sin(ln(x2−1))
5. f(x) = tan(e2x+1)
Exercice 4. Déterminer les limites en zéro des fonctions suivantes:
1. f(x) = 2x+ cos(x)−1
x 2. g(x) =sin(2x)
3x
Exercice 5. À quelles conditions la fonctionx7→sin(ω1x) + sin(ω2x) est-elle périodique ?
2 Fonctions trigonométriques réciproques
2.1 Généralités sur les fonctions réciproques
Nous allons revenir sur la notion de fonction réciproque vue en cours dans l’UE MP1.
Définitions-Propriétés. Si la fonctionf :D→Rest injective alors l’application fe:D→f(D), x7→f(x)
estbijective. Sa bijection réciproque est la fonctionf−1:f(D)→D qui satisfait :
“f−1(y) est l’uniquexdeD tel quef(x) =y.”
Précisément on a :
Exercice 6.
1. On considère la fonction carrée définie surR.
(a) Déterminer deux sous-ensemble D1 et D2 de R tels que la fonction f : D1 → D2 soit la restriction de la fonction carrée àD1et tels quef soit bijective.
(b) Construire le graphe de f.
(c) Quelle est la réciproque def ? Construire son graphe dans le même repère que f. 2. Reprendre cette démarche avec la fonction logarithme néperien.
3. Reprendre cette démarche avec la fonction inverse.
Qu’en est-il en Physique?
Les physiciens travaillent au quotidien avec des relations entre grandeurs, et il arrive souvent qu’à une valeur de la quantitéxcorresponde une et une seule valeur de la quantitéy. Il est alors totalement équivalent d’exprimery en fonction dexouxen fonction dey(à condition d’avoir bien déterminé les ensembles de définition pour la grandeurxet la grandeury). Et lorsqu’on dispose d’un ensemble de valeurs dexet des valeurs associéesy (calculées ou mesurées), on peut aussi bien tracery en fonction dexouxen fonction dey.
Un exemple simple est la relationEc= 1
2mv2: il s’agit d’une relation bijective qui peut s’écrire de façon équivalentev=
r2Ec
m , à condition de préciser quev≥0 etEc≥0.
Pour une discussion plus détaillée, se référer au polycopié “Méthodologie et Outils Mathématiques pour la Physique”, chapitre 1, section “Fonctions et fonctions réciproques”.
2.2 Dérivée d’une fonction réciproque
Si f possède une fonction réciproque et que f0 existe et ne s’annule pas, alors f−1 est aussi dérivable.
Pour calculer (f−1)0, on peut appliquer la formule suivante (à utiliser à bon escient):
(f−1)0(x) = 1 f0(f−1(x))
Remarque:On peut observer ce fait graphiquement, puisque les courbes defet def−1sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x. On peut également le retrouver avec le raisonnement différentiel fréquemment utilisé en Physique (voir la section 6.5 du polycopié).
Exercice 7. Vérifier cette formule pourf(x) =exet f(x) =x2.
2.3 Fonctions trigonométriques réciproques
Les applications arcsin: [−1,1]→
−π2,π2, arccos: [−1,1]→[0, π], arctan:R→
−π2,π2sont les récipro- ques (dérivables) des bijections dérivables strictement monotones suivantes :
−π2,π2
→[−1,1]
y 7→ siny
qui croît, [0, π]→[−1,1]
y 7→ cosy
qui décroît,
−π2,π2
→ R y 7→tany
qui croît.
Par conséquent, pour tousx, y∈Ron a : x∈[−1,1] ety= arcsinx
⇐⇒ y∈
−π2,π2
etx= siny x∈[−1,1] ety= arccosx
⇐⇒ y∈[0, π] etx= cosy y= arctanx ⇐⇒ y∈
−π2,π2
etx= tany Remarques :
1. Pour toutx∈[−1,1], on a : sin(arcsinx) = sin|[−π
2,π2](arcsinx) =x. Cependant attention : arcsin(sinπ)6=π
2. Soitx∈[−1,1]. On a : arcsin(−x) =−arcsinx (éléments de [−π 2,π
2] de même sinus).
On a aussi : arccos(−x) =π−arccosx (éléments de [0, π] de même cosinus).
3. Soitx∈R. On a : arctan(−x) =−arctanx (éléments dei
−π 2,π
2
hde même tangente).
Proposition.
1. La fonction arcsin est strictement croissante sur [−1,1] et impaire.
Elle est dérivable sur ]−1,1[ et pour toutx∈]−1,1[ : (arcsin)0(x) = 1
√1−x2. 2. La fonction arccos est strictement décroissante sur [−1,1].
Elle est dérivable sur ]−1,1[ et pour toutx∈]−1,1[ : (arccos)0(x) = √−1 1−x2. 3. Pour toutx∈[−1,1] on a arcsinx+ arccosx= π
2.
4. La fonction arctan est strictement croissante surRet impaire.
Elle est dérivable surRet pour tout réelx: (arctan)0(x) = 1 1 +x2.
On donne dans la page suivante les graphes des restrictions des fonctions trigonométriques et les fonctions
Exercice 8. Pour chacune des fonctions ci-dessous, dire sur quel ensemble elle est définie, sur quel ensemble elle est dérivable, et calculer sa dérivée sur cet ensemble :
1. f(x) = arccos(2x+ 1) 2. f(x) = arcsin(x2−1) 3. f(x) = arctan(x3)
Exercice 9. À partir des formules connues pour cos(a+b) et sin(a+b) montrer la formule suivante : tan(a+b) = tan(a) + tan(b)
1−tan(a) tan(b). En utilisant cette formule montrer les identités suivantes :
1. 2arctan(1/2) = arctan(4/3).
2. π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8).
