Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers p.n et q.n ont le même nombre de diviseurs.
Q₁ Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur :
1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]
Q₂ Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].
Nous noterons τ(n) le nombre de diviseurs de l’entier n.
Si p divise strictement q (ou l’inverse) il en est de même de np pour nq, et np aura toujours moins de diviseurs. Sinon, il existe au moins deux facteurs premiers dont l’un est à une plus grande puissance dans la décomposition de p que dans celle de q et inversement pour l’autre.
Soit u un nombre premier, a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 1 et i un entier positif : si p=ua-1, q=ub-1, n=ui, τ(pn)/τ(qn)=(a+i)/(b+i).
Soient maintenant p=ua-1vc-1, q=ub-1vd-1 et n=uivj où u et v sont des nombres premiers distincts, a, b, c, d des entiers supérieurs ou égaux à 1 et i, j des entiers positifs : alors τ(pn)/τ(qn)=(a+i)(c+j)/(b+i)(d+j).
Examinons d’abord le cas où 1≤a<b et 1≤c<d : quitte à inverser u et v, on peut supposer que b≥c, et si j=b-c+i, τ(pn)/τ(qn)=(a+i)/(b-c+d+i) : on revient au cas
précédent avec b-c+d au lieu de b : le cas de plusieurs facteurs premiers à une puissance plus élevée dans q que dans p (et l’inverse) équivaut au cas d’un seul facteur.
Soit maintenant le cas où 1≤a<b et 1≤d<c : pour que τ(pn)=τ(qn), il suffit que
(a+i)/(b-a)=(d+j)/(c-d)=h, soit i=hb-(h+1)a, j=hc-(h+1)d avec h suffisamment grand pour que i et j soient positifs, donc h≥(a+1)/(b-a) et h≥(d+1)/(c-d).
Donc si l’on peut trouver deux facteurs premiers dont l’un figure dans p à une puissance plus grande que dans q et inversement pour l’autre, on peut trouver un égalisateur.
Q1 : 1) p=20=22*5, q=81=34 , n=2a-1*3b-1*5c-1 avec a, b et c supérieurs ou égaux à 1 : τ(pn)=(a+2)b(c+1), τ(qn)=a(b+4)c soit a(4c-b)=2b(c+1). Si c=1 et b=2, a=4 et n=23*3=24 : τ(pn)=6*2*2, τ(qn)=4*6.
2)1610=2*5*7*23, 2019=3*673 : n=22*52*7*23 est un égalisateur puisque τ(1610n)=4*4*3*3 et τ(2019n)= τ(2019) τ(n)=4*3*3*2*2
3) 1961=37*53, 84323=37*43*53 : q est donc multiple de p, et pour tout n, nq sera multiple de np, donc aura plus de diviseurs : il n’existe pas d’égalisateur.
Q2 : On ne sait trouver d’égalisateur seulement si p est multiple de q ou inversement.
Soit k=1, 3, 673, 4038, 6057, 8073 pour les valeurs inférieures à 10000.
