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A418 - Diophante dans son pré carré

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Academic year: 2022

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(1)

A418 - Diophante dans son pré carré – P intérieur à distances entières des sommets

Solution Question n°1

Soit PA=a, PB=b, PC=c et PD=d. On a la relation bien connue a2c2b2d2.

En supposant que a est le plus petit terme, on pose b = a + x, c = a + y et d = a + z avec x, y, z

>=0.

Il en résulte a(y2x2z2)/(2*(xzy))

Pour y<7, il n’y a pas de solution et la plus petite valeur de a=2 est obtenue pour y=7, x=5 et z=4

Dès lors a=2, b=7, c=9 et d=6.

Si l’on désigne par N le côté du carré, on calcule N en fonction de a, b, c et d.

Soit u = angle(PAB).

On a dans le triangle PAB la première relation : b2 a2 N2 2aNcos(u). et dans le triangle PAD la deuxième relation : d2 a2N22aNsin(u) Comme cos2(u)sin2(u)1,on peut écrire l’identité suivante:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 N b ) (a N d ) 4a N

(a      

En posant XN2, on obtient l’équation du second degré en X :

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2(a c )X (b a ) (d a )

2X      

 N2 (a2c2 (a2c2)22(b2a2)22(d2a2)2)/2 On en déduit N (857 23/27,6997...

Question n°2

Il n’y a pas de solution possible.

Références

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